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La legge di _Benford_

Sun, 15 Mar 2026 00:00:00 +0000

Le pagine consumate di un libro di logaritmi

Nel 1938 il fisico americano Frank Benford lavorava ai General Electric Research Laboratories. Come tutti gli scienziati della sua epoca, per fare i calcoli usava tavole di logaritmi stampate su carta: libri spessi, fitti di numeri, consultati ogni giorno da chiunque avesse bisogno di moltiplicare o dividere qualcosa di complicato.

Un dettaglio gli saltò all’occhio — uno di quei dettagli che chiunque altro avrebbe ignorato distrattamente per anni: le prime pagine della tavola erano molto più consumate, sporche e sgualcite delle ultime. Le pagine iniziali contenevano i logaritmi dei numeri che cominciano con la cifra 1; le ultime, quelli dei numeri che cominciano con 9.

Possibile che le persone avessero davvero bisogno di calcolare più spesso logaritmi di numeri che iniziano per 1 piuttosto che per 9? A prima vista sembra assurdo: se i numeri “capitano” nei calcoli in modo casuale, ogni prima cifra da 1 a 9 dovrebbe comparire più o meno con la stessa frequenza, circa una volta su nove.

Benford non si limitò a intuire qualcosa: raccolse dati. Tantissimi dati, di ogni tipo — aree di fiumi, popolazioni di città, costanti fisiche, numeri tratti da riviste, indirizzi di case, pesi atomici. Oltre 20.000 numeri in totale. E scoprì che non era affatto un caso: in moltissimi insiemi di dati reali, il numero 1 compare come prima cifra circa il 30% delle volte, il 2 circa il 18%, e così via, in una distribuzione decrescente fino al 9, che compare solo il 4,6% delle volte.

La formula

La legge — in realtà già osservata nel 1881 dall’astronomo Simon Newcomb, per lo stesso identico motivo (le pagine consumate delle tavole logaritmiche) ma poi dimenticata per quasi sessant’anni — afferma che la probabilità che la prima cifra significativa di un numero sia $d$ (con $d = 1, 2, \dots, 9$) è:

$$ P(d) = \log_{10}\left(1 + \frac{1}{d}\right) \tag{B} $$

Da cui:

$d$	$P(d)$
1	30,1%
2	17,6%
3	12,5%
4	9,7%
5	7,9%
6	6,7%
7	5,8%
8	5,1%
9	4,6%

Il crollo di probabilità dal numero 1 al numero 9

Il grafico mostra bene quello che la tabella lascia solo intuire: la curva non è affatto piatta come ci si aspetterebbe da cifre “equiprobabili” (la linea tratteggiata all'11,1%), ma crolla rapidamente dal primo all’ultimo digit. Il numero 1 è più di sei volte più frequente del 9.

Perché funziona: l’invarianza di scala

L’intuizione chiave è questa: se una legge sulla distribuzione delle cifre esiste davvero in natura, non può dipendere dall’unità di misura che scegliamo di usare. La lunghezza di un fiume espressa in chilometri o in miglia deve seguire la stessa legge sulle prime cifre — altrimenti la “legge” sarebbe solo un artefatto del sistema metrico scelto, non una proprietà dei numeri in sé.

Si può dimostrare che l’unica distribuzione di probabilità sulle prime cifre che resta invariata cambiando unità di misura — cioè moltiplicando tutti i dati per una costante qualsiasi — è proprio quella logaritmica di Benford. È una conseguenza elegante, e per nulla ovvia, della struttura del logaritmo: la proprietà $\log(ab) = \log a + \log b$ trasla semplicemente la distribuzione, e l’unica distribuzione “stabile” per traslazione su una scala ciclica — le cifre da 1 a 9 si ripetono a ogni ordine di grandezza — è proprio quella logaritmica stessa.

Detto in modo più semplice: la legge di Benford emerge quando i dati spaziano su più ordini di grandezza, come le popolazioni dei paesi (da poche migliaia a centinaia di milioni) o gli importi di fatture (da pochi euro a milioni di euro). Non funziona invece su insiemi “vincolati” a un intervallo stretto — per esempio le altezze delle persone in centimetri, che stanno quasi tutte tra 140 e 200 e non attraversano ordini di grandezza diversi.

Come si scovano le frodi

Ed è qui che la storia diventa avvincente. Se i numeri “onesti” — bilanci reali, dati di censimento, importi di transazioni legittime — seguono la legge di Benford, allora i numeri inventati da una persona non la seguono, perché nessuno, quando falsifica cifre per un bilancio o una dichiarazione dei redditi, pensa istintivamente “devo far cominciare il maggior numero possibile di cifre con 1”.

Negli anni Novanta il ricercatore Mark Nigrini trasformò questa osservazione in uno strumento reale di forensic accounting: applicando la legge di Benford ai bilanci aziendali, ai rimborsi spese, alle dichiarazioni fiscali, è possibile individuare in modo statistico gli insiemi di numeri “sospetti” — quelli che si discostano troppo dalla distribuzione attesa — e concentrare lì i controlli. Il metodo è oggi usato realmente da revisori contabili e agenzie fiscali, incluso l’IRS statunitense, ed è stato impiegato anche per analizzare anomalie in alcuni set di risultati elettorali (con tutte le cautele metodologiche del caso: la legge di Benford è un indizio statistico, non una prova, e va applicata solo a dati che ne rispettano le condizioni — range ampio, nessun limite artificiale ai valori). Proprio perché i dati manipolati “a mano” tradiscono quasi sempre una firma statistica diversa da quella dei dati genuini, un discostamento marcato è un buon punto da cui partire a indagare, non una condanna.

Dai logaritmi al detective: portarla in classe

Questa storia è un ponte perfetto tra due mondi che a scuola sembrano lontanissimi: i logaritmi, spesso percepiti come pura tecnica di calcolo senza vita, e la probabilità e statistica applicate a un problema quasi investigativo.

Un’attività efficace in classe:

far raccogliere agli studenti un insieme di dati reali con ampio range di ordini di grandezza (popolazione dei comuni italiani, numeri civici, valori di bilancio di un’azienda quotata, persino il numero di “mi piace” sotto dei post social)
contare le prime cifre e confrontare la distribuzione osservata con quella teorica prevista dalla formula $(B)$
discutere perché la legge funziona (invarianza di scala) e perché no su altri insiemi di dati, vincolati in un range stretto

È un esempio raro in cui uno strumento puramente matematico, nato da un’osservazione quasi aneddotica su pagine di carta consumate, diventa concretamente uno strumento investigativo usato ancora oggi.

Ci credono _stupidi_

Sat, 17 May 2025 00:00:00 +0000

There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics.
— attribuita a Mark Twain / Benjamin Disraeli

Il marketing scommette che tu non controlli i conti

Ogni volta che vediamo un prezzo scontato, un countdown che segna “solo 2 posti rimasti”, o una percentuale enorme scritta in rosso, qualcuno ha già fatto dei calcoli — non per aiutarci a decidere meglio, ma per farci decidere più in fretta. Il marketing, quando gioca sporco, quasi mai mente apertamente: sfrutta il fatto che la maggior parte delle persone non verifica i numeri, e si fida dell’impressione a colpo d’occhio.

La buona notizia è che bastano pochi strumenti matematici — percentuali, ordini di grandezza, un po’ di probabilità — per smontare questi trucchi uno per uno. Vediamo cinque casi realmente accaduti, con tanto di nomi, sentenze e multe.

Caso 1: Booking.com e la falsa scarsità

Nel 2019 l’Autorità Garante della Concorrenza e del Mercato (AGCM) italiana ha sanzionato Booking.com per 3.900.000 euro per pratiche commerciali scorrette. Tra le accuse: messaggi del tipo “solo 1 camera rimasta a questo prezzo!” o “12 persone stanno guardando questo hotel in questo momento”, presentati come dati oggettivi e urgenti, senza che l’azienda fornisse prove verificabili che fossero effettivamente veri, aggiornati e riferiti in modo corretto al contesto (a volte quella “unica camera rimasta” era riferita a una specifica tipologia di stanza, non all’intera disponibilità dell’hotel).

Il divario tra il messaggio e il dato reale

Il punto matematico è semplice ma potente: un’affermazione di scarsità è un’affermazione probabilistica sul futuro (“se non prenoti ora, rischi di non trovare più questo prezzo”), e come tale andrebbe accompagnata da un dato verificabile, non da un numero generato apposta per creare ansia da decisione.

Caso 2: gli sconti finti — il caso Unieuro

Nel 2022 l’AGCM ha sanzionato Unieuro (insieme ad altre catene di elettronica) per pratiche di sconti ingannevoli: il prezzo “barrato” da cui partiva lo sconto non era quello effettivamente praticato nei giorni o nelle settimane precedenti, ma un prezzo più alto, mai realmente applicato o applicato solo per pochissimo tempo prima della promozione — una tecnica nota come sconto fantasma.

È un trucco puramente aritmetico: uno sconto del 50% sembra enorme, ma se il prezzo di partenza è stato gonfiato del 60% pochi giorni prima, lo sconto “vero” rispetto al prezzo di mercato reale è molto più modesto — a volte nullo, a volte addirittura negativo:

$$ \text{Sconto percepito} = \frac{P_{\text{gonfiato}} - P_{\text{finale}}}{P_{\text{gonfiato}}} \qquad \neq \qquad \text{Sconto reale} = \frac{P_{\text{medio storico}} - P_{\text{finale}}}{P_{\text{medio storico}}} \tag{S} $$

Lo sconto fantasma smascherato dalla serie storica

Proprio per contrastare questa pratica, dal 2022 la direttiva europea Omnibus obbliga gli e-commerce a mostrare, insieme al prezzo scontato, il prezzo più basso applicato negli ultimi 30 giorni — una regola nata esattamente per rendere impossibile gonfiare artificialmente il prezzo di riferimento della formula $(S)$.

Caso 3: il “dark pattern” di Amazon Prime

Nel 2023 la Federal Trade Commission (FTC) americana ha citato in giudizio Amazon, sostenendo che l’azienda avesse deliberatamente reso il processo di disdetta di Amazon Prime artificiosamente complicato — un percorso soprannominato internamente, secondo i documenti resi pubblici dalla causa, con il nome in codice “Iliad” (come l’Iliade: una guerra lunghissima), che richiedeva fino a 4 clic e diverse pagine di tentativi di persuasione prima di riuscire a disdire, contro il singolo clic necessario per iscriversi.

Qui il numero ingannevole non è un prezzo, ma la probabilità di completare un’azione: ogni passaggio aggiuntivo nel percorso di disdetta è un punto in cui una frazione degli utenti abbandona, non perché ha cambiato idea, ma per stanchezza. È lo stesso principio — usato però in senso opposto, a fin di bene — con cui un progettista di siti ottimizza un funnel di vendita: ogni step in più nel processo di acquisto fa perdere una percentuale di clienti. Applicato al contrario, nella disdetta, diventa uno strumento per trattenere involontariamente gli utenti.

Caso 4: Dieselgate — quando il campione viene truccato alla radice

Il caso più clamoroso, e quello con le conseguenze più gravi, è il cosiddetto Dieselgate. Nel settembre 2015 l’agenzia ambientale americana (EPA) scoprì che Volkswagen aveva installato su milioni di veicoli diesel un software — un defeat device — capace di riconoscere quando l’auto era sottoposta a un test di laboratorio (dai movimenti tipici del volante, dalla velocità costante, dalla posizione dei pedali) e di attivare, solo in quelle condizioni, un funzionamento del motore con emissioni ridotte, molto diverso da quello reale su strada.

Nei test ufficiali le emissioni di ossidi di azoto risultavano regolari; su strada, a seconda del modello e delle condizioni di guida, sono state misurate fino a diverse decine di volte superiori ai limiti legali. Circa 11 milioni di veicoli coinvolti nel mondo, tra multe e risarcimenti per Volkswagen stimati in oltre 30 miliardi di dollari complessivamente.

Lo stesso motore, due comportamenti diversi

Qui non si tratta di un trucco psicologico sui prezzi, ma di qualcosa di più profondo e istruttivo dal punto di vista matematico: un campione truccato non rappresenta la popolazione. Tutta la statistica si fonda sull’idea che misurare un campione (il test in laboratorio) ci dica qualcosa di affidabile sulla popolazione intera (la guida reale su strada). Se il campione viene manipolato per comportarsi diversamente dal resto della popolazione, ogni conclusione statistica costruita su di esso è invalidata alla radice — non è un problema di calcolo, è un problema di dati falsati prima ancora di iniziare a calcolare.

Caso 5: le loot box nei videogiochi

L’ultimo caso è probabilmente il più vicino alla vita quotidiana di chi sta leggendo: le loot box, quelle “casse” o “pacchetti misteriosi” che in tantissimi videogiochi — da FIFA a Genshin Impact, passando per decine di giochi mobile — si possono comprare con soldi veri per ottenere, a caso, un oggetto o un personaggio raro.

Il gioco dichiara sempre una probabilità: “5% di possibilità di ottenere un oggetto leggendario”. Il numero è vero, ma quasi nessuno lo interpreta correttamente. Un 5% per singola estrazione non significa affatto che dopo 20 tentativi l’oggetto sia garantito: le estrazioni sono eventi indipendenti, quindi la probabilità di non ottenerlo mai in $n$ tentativi è $(0{,}95)^n$, e con $n = 20$ resta comunque intorno al 36% — più di una possibilità su tre di restare a mani vuote anche dopo venti acquisti. Il numero medio di tentativi necessari per ottenere l’oggetto, in una distribuzione di questo tipo (geometrica), è $\frac{1}{p}$: con $p = 0{,}05$, in media servono 20 estrazioni, ma la varianza è alta, e c’è chi ne farà molte di più prima di avere fortuna. È lo stesso principio che regola le slot machine, applicato a un pubblico enormemente più giovane.

Proprio per questo, dal 2017 la Cina ha introdotto l’obbligo legale di dichiarare le probabilità esatte di ogni oggetto; il Belgio, nel 2018, ha classificato le loot box come una forma di gioco d’azzardo e ne ha vietato la vendita ai minori; altri paesi (tra cui i Paesi Bassi) hanno seguito ipotesi simili, mentre l’industria videoludica ha spesso preferito adottare forme di autoregolamentazione — come la dichiarazione volontaria delle probabilità, oggi comune anche su App Store e Google Play — piuttosto che subire normative più stringenti.

Il filo comune: la matematica come vaccino

Tutti e cinque i casi condividono la stessa struttura: qualcuno presenta un numero — una percentuale di sconto, un contatore di disponibilità, un numero di clic, un valore di emissioni, una probabilità di estrazione — sapendo che la maggior parte delle persone non lo metterà in discussione. E in tutti e cinque i casi, gli strumenti per smascherare l’inganno sono elementari:

percentuali: rispetto a cosa è calcolata questa percentuale? Qual è il valore di riferimento, ed è quello giusto?
serie temporali: il valore mostrato ora è confrontabile con l’andamento storico, o è un dato isolato scelto ad arte?
probabilità e campionamento: il dato che vedo — un test, un campione, una recensione, una singola estrazione — rappresenta davvero la situazione reale, o è stato selezionato, alterato o frainteso per sembrare diverso?

La matematica, in questi casi, non è un esercizio astratto da fare a scuola: è letteralmente lo strumento che ci impedisce di essere trattati da stupidi.