Il Calcolo Integrale

Fri, 10 Jul 2026 00:00:00 +0000

quinto anno · avanzato

Il Calcolo Integrale

dalla domanda inversa della derivata all'area sotto una curva

prof. Diego Fantinelli — The Math of Things

Chi ignora la matematica non può conoscere le altre scienze né le cose di questo mondo. — Ruggero Bacone

LA DOMANDA INVERSA

ripartiamo dalle derivate

E se andassimo all'indietro?

Sappiamo partire da $f(x)$ e calcolare $f'(x)$. Ma se conoscessimo $f'(x)$ e volessimo risalire a $f(x)$?

È la stessa domanda che si pone la fisica: conosco la velocità istante per istante, voglio ricostruire la posizione.

definizione

La primitiva

$F(x)$ è una primitiva di $f(x)$ se, per ogni $x$:

$$F'(x) = f(x)$$

Esempio: se $f(x)=2x$, allora $F(x)=x^2$ è una primitiva, perché $(x^2)'=2x$.

un dettaglio cruciale

Infinite primitive

Se $F(x)$ è una primitiva di $f(x)$, anche $F(x)+c$ lo è, per qualunque costante $c$.

La derivata di una costante è zero: aggiungere $c$ non cambia $F'(x)$. Tutte le primitive di $f$ differiscono solo per una costante additiva.

infinite curve, tutte "parallele" tra loro

L'INTEGRALE INDEFINITO

la notazione di Leibniz

Il simbolo $\int$

L'insieme di tutte le primitive di $f(x)$ si chiama integrale indefinito:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+c$$

La "S" allungata di $\int$ non è un caso: ricorda una somma. Lo capiremo tra poco.

tabella essenziale

Integrali immediati

$\displaystyle\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c$

$\displaystyle\int \frac1x dx = \ln|x|+c$

$\displaystyle\int e^x dx = e^x+c$

$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x+c$

$\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x+c$

$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x+c$

la tabella delle derivate, letta al contrario

TRE METODI

metodo 1

Per sostituzione

Cambiamo variabile: posto $t=g(x)$, l'integrale complicato in $x$ diventa immediato in $t$.

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$$

Esempio: $\displaystyle\int x\,e^{x^2}dx$, con $t=x^2$, diventa $\displaystyle\frac12\int e^t dt = \frac12 e^{x^2}+c$.

metodo 2

Per parti

Nasce dalla derivata del prodotto: utile quando l'integrando è un prodotto di funzioni "diverse tra loro".

$$\int f\,g'\,dx = f\,g - \int f'\,g\,dx$$

Esempio: $\displaystyle\int x\,e^x dx = x e^x - \int e^x dx = (x-1)e^x + c$.

metodo 3

Funzioni razionali fratte

Per $\displaystyle\int \frac{N(x)}{ax^2+bx+c}dx$, tutto dipende dal discriminante del denominatore.

$\Delta>0$: si scompone in fratti semplici, con logaritmi
$\Delta=0$: radice doppia: fratti semplici con potenza al denominatore
$\Delta<0$: si riconduce alla forma dell'arcotangente

L'INTEGRALE DEFINITO

cambiamo prospettiva

L'area sotto una curva

Vogliamo l'area tra il grafico di $f(x)\geq0$, l'asse $x$, e le rette $x=a$, $x=b$.

Idea di Riemann: approssimare l'area con tanti rettangolini sottili, e vedere cosa succede quando il loro numero tende all'infinito.

la somma diventa un limite

Le somme di Riemann

Divido $[a,b]$ in $n$ parti uguali, base $\Delta x$, e sommo le aree dei rettangoli:

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x \quad\longrightarrow\quad \int_a^b f(x)\,dx$$

attenzione

Area con segno

Se $f(x)<0$, i rettangoli contribuiscono negativamente.

L'integrale definito non misura un'area "assoluta", ma un'area con segno: positiva sopra l'asse $x$, negativa sotto.

IL TEOREMA FONDAMENTALE

il ponte tra due mondi

Derivata e integrale: operazioni inverse

Il teorema fondamentale del calcolo collega l'integrale definito alle primitive.

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

perché funziona

La costante che si cancella

Con $F(x)+c$ al posto di $F(x)$: $\big[F(b)+c\big]-\big[F(a)+c\big] = F(b)-F(a)$.

La costante scompare sempre: per un integrale definito basta una qualsiasi primitiva.

Torricelli e Barrow lo intuirono prima ancora di Newton e Leibniz

APPLICAZIONI

tra due grafici

Area tra due curve

Se $f(x)\geq g(x)$ su $[a,b]$:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx$$

Se le curve si incrociano, si spezza l'integrale nei punti di intersezione — altrimenti le aree si cancellerebbero a vicenda.

dal piano allo spazio

Volumi di rotazione

Ruotando il grafico di $f(x)\geq0$ attorno all'asse $x$, il metodo dei dischi dà:

$$V = \pi\int_a^b \big[f(x)\big]^2\,dx$$

Ogni fettina infinitesima è un cilindro di raggio $f(x)$: sommando tutte le fettine si ottiene il volume del solido.

verifica sorprendente

Il volume della sfera

Ruotando il quarto di cerchio $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ su $[0,r]$ si genera una semisfera.

$$V = \pi\int_0^r (r^2-x^2)\,dx = \frac23\pi r^3 \ \Rightarrow\ V_{\text{sfera}}=\frac43\pi r^3$$

la formula che hai sempre usato a memoria, finalmente dimostrata

DOMANDE?

se la risposta tende a infinito, va bene lo stesso

grazie dell'attenzione

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Infinite primitive

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Il simbolo \(\int\)

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Per sostituzione

Per parti

Funzioni razionali fratte

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L'area sotto una curva

Le somme di Riemann

Area con segno

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La costante che si cancella

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Volumi di rotazione

Il volume della sfera

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