Relazioni e Funzioni

Thu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000

matematica per il biennio

Relazioni e Funzioni

di variabile reale

prof. Diego Fantinelli — The Math of Things

In fisica e in matematica è impressionante la sproporzione tra lo sforzo per capire una cosa nuova per la prima volta e la semplicità e naturalezza del risultato una volta che i vari passaggi sono stati compiuti. Nel prodotto finito, nelle scienze come in poesia, non c'è traccia della fatica del processo creativo e dei dubbi e delle esitazioni che lo accompagnano. — Giorgio Parisi, "In un volo di storni" (2021)

RELAZIONI

definizione

La relazione $\mathscr{R}$

Dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$, si dice relazione tra $A$ e $B$ — e si indica con $\mathscr{R}$ — una legge che associa elementi dell'insieme $A$ a elementi dell'insieme $B$.

notazione: $\mathscr{R}: A \longrightarrow B$
per elementi: $\mathscr{R}: a \in A \longrightarrow b \in B$
caso particolare: se $\mathscr{R}$ opera tra $A$ e se stesso, si dice relazione nell'insieme $A$

come i social network, ma qui i collegamenti hanno una logica

definizioni

Dominio e codominio

Dominio di $\mathscr{R}$: l'insieme degli elementi di $A$ associati ad almeno un elemento di $B$.

Codominio di $\mathscr{R}$: l'insieme degli elementi di $B$ associati ad almeno un elemento di $A$.

definizioni

Immagine e controimmagine

Se $a \,\mathscr{R}\, b$, l'elemento $b$ si dice immagine di $a$ nella relazione $\mathscr{R}$.

L'elemento $a$ si dice controimmagine di $b$.

Quindi: il dominio è l'insieme degli elementi di $A$ che hanno almeno una immagine in $B$; il codominio è l'insieme degli elementi di $B$ che hanno almeno una controimmagine in $A$.

FUNZIONI

definizione

La funzione $f: X \longrightarrow Y$

Dati due insiemi non vuoti $X$ e $Y$, si dice funzione da $X$ a $Y$ una legge che associa a ogni elemento $x$ di $X$ uno e un solo elemento $y$ di $Y$.

in forma compatta:

$$y = f(x)$$

a ogni x uno e un solo y: la monogamia, matematicamente

lessico

Le parole delle funzioni

dominio: l'insieme $X$ di partenza: i valori per cui $f$ è definita
codominio: l'insieme $Y$ di arrivo
immagine: l'insieme dei valori $y \in Y$ tali che $y = f(x)$ per almeno un $x \in X$
controimmagine: dato $y \in Y$, l'insieme degli $x \in X$ tali che $f(x) = y$

proprietà

Tre famiglie notevoli

Iniettiva

elementi distinti hanno immagini distinte:

$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

Suriettiva

ogni elemento di $Y$ è immagine di almeno un $x$:

$\mathrm{Im}\,f = Y$

Biunivoca

iniettiva e suriettiva insieme: esiste la funzione inversa

$f^{-1}: Y \longrightarrow X$

biunivoca: quando ogni y ha trovato la sua x, e viceversa

CLASSIFICAZIONE

dividere il lavoro

Come riconosciamo una funzione

Lo studio di una funzione è il percorso che va da un'equazione matematica al suo grafico. Per affrontarlo con metodo, prima classifichiamo la funzione: sapere che cosa stiamo cercando facilita la ricerca.

La classificazione risponde a una semplice domanda: che tipo di operazioni contiene? Una funzione può essere algebrica (solo operazioni algebriche) oppure trascendente (esponenziali, logaritmi, trigonometria).

funzioni algebriche

Razionali vs irrazionali

razionali intere: $y = P(x)$ — polinomi: $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$. Dominio: $\mathbb{R}$.
razionali fratte: $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ — rapporto di polinomi. Escludi gli zeri del denominatore.
irrazionali intere: $y = \sqrt[n]{g(x)}$ — radici: $y = \sqrt{x^2 - 9}$. Attenzione al dominio (radicando $\geq 0$ se $n$ pari).
irrazionali fratte: Radice al numeratore, polinomio al denominatore: combina i vincoli di entrambe.

le razionali vivono ovunque; le irrazionali hanno un senso critico sul loro dominio

funzioni trascendenti

Quelle che non si calcano con le mani

esponenziali: $y = a^x$ (con $a \gt 0, a \neq 1$), oppure $y = a^{g(x)}$. Esempio: $y = 2^x$, $y = e^{x^2-1}$. Dominio: $\mathbb{R}$.
logaritmiche: $y = \log_a(x)$ o $y = \log_a(g(x))$. Vincolo: $g(x) \gt 0$. Esempi: $y = \ln(x)$, $y = \log_2(x^2-4)$.
goniometriche: Seno, coseno ($\mathbb{R}$), tangente (escludendo $\frac{\pi}{2}+k\pi$). Anche arcsin, arccos, arctan.

le trascendenti amano i limiti e gli infiniti: il loro grafico spesso "scappa"

il perché

Lo studio di funzione

Partire da un'equazione — magari complicata — e arrivare a un grafico è il cuore dell'analisi: vedere la forma della curva è capire il comportamento della funzione.

Chiediti sempre: dove cresce? Dove decresce? Ha simmetrie? Ha asintoti? Che cosa accade agli estremi del dominio? La risposta a queste domande è il disegno del grafico.

E il disegno, a sua volta, è lo strumento che spiega la realtà: modelli di popolazione, curve di raffreddamento, ondate di prezzo — tutto ciò che oscilla, cresce, decresce o tende a un limite ha una funzione dietro.

il metodo

I sei passi dello studio

Dominio quale è l'insieme di valori per cui la funzione è definita? Cerca limitazioni (radici, logaritmi, denominatori).
Intersezione con gli assi dove il grafico taglia l'asse $x$ (zeri: $f(x)=0$) e l'asse $y$ ($f(0)$).
Simmetrie è una funzione pari ($f(-x)=f(x)$, simmetrica rispetto a $y$) o dispari ($f(-x)=-f(x)$, rispetto all'origine)?

Studio del segno dove è positiva ($f(x) \gt 0$) e dove negativa ($f(x) \lt 0$)? Questo separa il piano in zone.
Studio dei limiti che cosa accade agli estremi del dominio? C'è un asintoto orizzontale, verticale, obliquo?
Grafico probabile unisci tutto ciò che hai scoperto e disegna la curva. È il momento della verità.

sei passi, uno schema, un grafico: è geometria che nasce dall'algebra

il calcolo

I sei passi avanzati

Derivata prima $f'(x)$ misura la pendenza della curva — dove cresce ($f' \gt 0$) e dove decresce ($f' \lt 0$).
Crescenza e decrescenza dove $f'(x) \gt 0$ la funzione sale; dove $f'(x) \lt 0$ scende. I punti dove $f'(x) = 0$ sono candidati a massimi/minimi.
Massimi e minimi relativi picchi e valli della curva. Usa il test della derivata prima (o seconda) per distinguerli dai flessi.

Derivata seconda $f''(x)$ misura la curvatura — se la funzione è concava ($f'' \lt 0$) o convessa ($f'' \gt 0$).
Concavità e convessità la curva piega verso il basso (concava) o verso l'alto (convessa). Dove $f''(x) = 0$ ci sono i flessi.
Grafico definitivo unisci tutto — asintoti, zeri, segno, crescenza, concavità — e disegna con precisione. È il capolavoro finale.

dalla carta al calcolo: è qui che la funzione rivela i suoi segreti

Grafico finale

dal primo passo all'ultimo: l'equazione diventa immagine, l'astratto diventa visibile

Unendo tutti i dodici passi — dominio, zeri, simmetrie, segno, limiti, derivate, concavità — otteniamo il grafico completo e preciso. Ogni curva, ogni asintoto, ogni cambio di direzione racconta la storia della funzione.

GRAFICI

funzioni notevoli

Le proporzionalità

diretta: $y = kx$ — una retta per l'origine
quadratica: $y = kx^2$ — una parabola con vertice nell'origine
inversa: $y = \dfrac{k}{x}$ — un'iperbole equilatera

k fa tutto il lavoro, ma il merito va sempre a x

funzioni goniometriche

La funzione seno

$y = \sin x$

periodica di periodo $2\pi$, limitata: $-1 \leq \sin x \leq 1$

funzioni goniometriche

La funzione coseno

$y = \cos x$

stessa onda del seno, sfasata di $\dfrac{\pi}{2}$

funzioni goniometriche

La funzione tangente

$y = \tan x$

periodica di periodo $\pi$, non definita per $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

anche le funzioni hanno i loro limiti

VITA REALE

le funzioni intorno a noi

esempio

L'elettrocardiogramma

L'ECG registra e rappresenta graficamente l'attività elettrica del cuore: dalla lettura del grafico il cardiologo ottiene indicazioni sullo stato del cuore.

È una funzione del tempo: a ogni istante $t$ corrisponde uno e un solo valore del potenziale elettrico.

$$V = f(t)$$

l'unica funzione che tifiamo resti periodica

le variabili in gioco

Leggere il tracciato

onda P: depolarizzazione atriale: piccola onda positiva
complesso QRS: depolarizzazione ventricolare: il picco che riconosciamo tutti
onda T: ripolarizzazione ventricolare: il ritorno alle condizioni di base
intervallo QT: l'intera attività elettrica ventricolare

matematicamente

Riconoscere il battito

Il riconoscimento automatico del complesso QRS usa il filtraggio digitale: una trasformazione lineare che al segnale $x_t$ associa un segnale $y_t$

$$y_{t}=\sum_{k=1}^{n} f(k)\, y_{t-k}+\sum_{i=1}^{m} g(i)\, x_{t-i}$$

approfondimento: Studio completo di funzioni razionali

un altro esempio

La funzione Happiness

$$\text{Happiness}(t)=w_{0}+w_{1}\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} CR_{j}+w_{2}\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} EV_{j}+w_{3}\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} RPE_{j}$$

$w_0 \dots w_3$: costanti: il peso dei diversi tipi di evento
$\gamma$: forgetting factor: gli eventi recenti contano di più
$CR_j$: gratificazione ottenuta dalla scelta $j$
$EV_j$: valutazione del rischio sulla scelta $j$
$RPE_j$: differenza tra ricompensa attesa e ottenuta

sì, qualcuno ha davvero provato a mettere la felicità in formula

DOMANDE?

le domande stupide non esistono. Le risposte, qualche volta.

grazie dell'attenzione

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RELAZIONI

La relazione $\mathscr{R}$

Dominio e codominio

Immagine e controimmagine

FUNZIONI

La funzione $f: X \longrightarrow Y$

Le parole delle funzioni

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Suriettiva

Biunivoca

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Come riconosciamo una funzione

Razionali vs irrazionali

Quelle che non si calcano con le mani

Lo studio di funzione

I sei passi dello studio

I sei passi avanzati

Grafico finale

GRAFICI

Le proporzionalità

La funzione seno

La funzione coseno

La funzione tangente

VITA REALE

L'elettrocardiogramma

Leggere il tracciato

Riconoscere il battito

La funzione Happiness

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