equazioni differenziali | The Math of Things

Il ponte che imparò a ballare, e la matematica che (in parte) lo spiega

Mon, 27 Jul 2026 07:00:00 +0000

Un ponte che ballava

Il 7 novembre 1940, il ponte sospeso di Tacoma Narrows, nello stato di Washington, crollò nel giro di poche ore, sotto un vento tutto sommato modesto — circa 65 km/h, nulla che un ponte sospeso non dovesse sopportare normalmente. Il crollo fu filmato, ed è per questo che è diventato uno dei filmati più mostrati nelle aule di fisica di tutto il mondo: si vede l’impalcato torcersi e ondeggiare sempre più violentemente, come un nastro sventolato al vento, fino a spezzarsi.

Il soprannome che i cronisti dell’epoca diedero al ponte — “Galloping Gertie”, Gertie la galoppante — era già stato coniato prima del crollo: la struttura era nota per ondeggiare vistosamente fin dai primi giorni di apertura, qualche mese prima. Non era un difetto nascosto: era un difetto che si vedeva a occhio nudo, e che nessuno prese abbastanza sul serio.

La spiegazione da manuale (e perché è incompleta)

Per decenni, i libri di testo hanno raccontato questa storia come l’esempio per eccellenza della risonanza: il vento avrebbe soffiato a una frequenza vicina a una delle frequenze proprie di oscillazione del ponte, pompando energia nel sistema oscillante finché l’ampiezza non è diventata distruttiva. È una spiegazione elegante, facile da visualizzare, e — va detto con onestà — non del tutto corretta.

Gli studi di ingegneria aerodinamica successivi al crollo hanno mostrato che il meccanismo reale è più sottile e si chiama flutter aeroelastico: non è il vento che “spinge a tempo” come qualcuno che dondola un’altalena, ma è l’oscillazione stessa del ponte a modificare il flusso d’aria attorno a sé in un modo che alimenta ulteriormente l’oscillazione — un ciclo che si autosostiene, invece di una semplice forza esterna periodica. La differenza è importante per chi progetta ponti, ma per chi si affaccia per la prima volta alla matematica delle oscillazioni, l’intuizione di partenza — un sistema che oscilla, e che può farlo in modo incontrollato se qualcosa lo alimenta alla frequenza “giusta” — resta un ottimo punto di partenza.

Dall’aneddoto all’equazione

Cosa hanno in comune un ponte che ondeggia, un’altalena, la corda di una chitarra, e il circuito che sintonizza una radio su una stazione? Tutti obbediscono, in prima approssimazione, alla stessa famiglia di equazioni: le equazioni differenziali lineari del secondo ordine.

Nel percorso del corso Pro abbiamo già incontrato le equazioni differenziali del primo ordine: crescita esponenziale, decadimento radioattivo, la legge di raffreddamento di Newton. Sono equazioni che rispondono alla domanda “quanto velocemente cambia questa grandezza?” Le equazioni del secondo ordine rispondono a una domanda leggermente diversa, ma altrettanto naturale: “quanto velocemente cambia la velocità con cui cambia?” — cioè: qual è l’accelerazione? Ed è esattamente la domanda che pone la seconda legge di Newton, (F=ma), ogni volta che la forza in gioco dipende dalla posizione stessa dell’oggetto: una molla che richiama, la gravità, l’elasticità di un impalcato che si flette.

Quando si risolvono per bene queste equazioni, emergono con chiarezza matematica tre cose che nella storia di Tacoma Narrows si intrecciano tutte:

perché un sistema oscilla con una frequenza propria, indipendente da chi lo spinge;
come l’attrito (o la resistenza dell’aria) fa sì che, di norma, un’oscillazione si smorzi nel tempo;
e cosa succede — nel caso limite in cui qualcosa continua ad “alimentare” l’oscillazione proprio alla frequenza giusta — quando l’ampiezza smette di stabilizzarsi e cresce senza controllo: la risonanza.

Continuare la storia

Nell’approfondimento universitario dedicato alle equazioni differenziali riprendiamo esattamente da qui: dall’equazione caratteristica che decide se un sistema oscilla, si smorza dolcemente o torna all’equilibrio senza mai oscillare, fino alla risonanza vera e propria — con tanto di richiamo, doverosamente accompagnato dalle cautele storiche, al ponte che ballò troppo. Si arriva anche oltre: ai sistemi di equazioni e ai loro “ritratti di fase” (spirali che convergono, orbite chiuse, equilibri instabili a forma di sella), e a un primo sguardo su due strumenti — le soluzioni per serie e la trasformata di Laplace — che l’analisi matematica costruisce sopra queste stesse basi.

Se non hai ancora seguito l’introduzione alle equazioni differenziali del corso Pro (variabili separabili, equazioni lineari del primo ordine, il problema di Cauchy), è il prerequisito naturale prima di affrontare questo approfondimento: la matematica, come i ponti ben progettati, si costruisce un piano alla volta.

Equazioni Differenziali

Mon, 27 Jul 2026 00:00:00 +0000

quinto anno · corso pro

Equazioni Differenziali

non "quanto vale", ma quanto velocemente cambia

prof. Diego Fantinelli — The Math of Things

Le leggi della natura sono scritte nel linguaggio della matematica, e i suoi caratteri sono... equazioni differenziali. — liberamente da Galileo e Newton

UNA DOMANDA DIVERSA

finora

Equazioni con incognita un numero

In $2x+3=7$, l'incognita $x$ è un numero. Anche in $x^2-4x+3=0$ cerchiamo numeri.

E se l'incognita fosse una funzione? E se l'equazione legasse quella funzione al suo ritmo di cambiamento?

l'idea centrale

Leggi che parlano di variazione

La velocità con cui una popolazione cresce dipende da quanti individui ci sono già. La velocità con cui un corpo si raffredda dipende da quanto è più caldo dell'ambiente.

non leggi statiche, ma leggi che si "guardano allo specchio"

definizione

Equazione differenziale

Un'equazione che lega una funzione incognita $y(x)$ alle sue derivate:

$$y' = f(x,y)$$

Risolverla non significa trovare un numero, ma ritrovare l'intera funzione a partire dal suo tasso di variazione.

SEPARARE LE VARIABILI

il caso più semplice

Quando $x$ e $y$ si separano

Se l'equazione ha la forma $y'=g(x)\,h(y)$, si può "smontare" mettendo tutte le $y$ da un lato e tutte le $x$ dall'altro:

$$\int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$$

esempio

Risolvere $y'=xy$

Separando: $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$, quindi $\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+c$.

$$y(x) = C\,e^{x^2/2}$$

infinite curve, una famiglia intera di soluzioni

CRESCITA E DECADIMENTO

il modello più famoso

Quando il ritmo è proporzionale

Se la velocità di variazione è proporzionale alla quantità stessa, $y'=ky$, la soluzione è sempre la stessa forma:

$$y(t) = y_0\,e^{kt}$$

Popolazioni che crescono ($k>0$), sostanze radioattive che decadono ($k<0$): stessa equazione, segno diverso.

applicazione

Il tempo di dimezzamento

Per il decadimento radioattivo $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$, il tempo perché la quantità si dimezzi è:

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

la base della datazione al carbonio-14

una legge nota

Il raffreddamento di Newton

Un corpo si raffredda con velocità proporzionale al divario con la temperatura ambiente, non alla temperatura stessa:

$$T(t) = T_{amb} + (T_0-T_{amb})\,e^{-kt}$$

Per $t\to\infty$, $T(t)\to T_{amb}$: il caffè, prima o poi, raggiunge sempre la temperatura della stanza.

IL FATTORE INTEGRANTE

un caso più generale

Equazioni lineari del primo ordine

Non sempre l'equazione si separa. La forma generale lineare è:

$$y' + p(x)\,y = q(x)$$

Serve un trucco: moltiplicare tutto per una funzione scelta ad arte.

il trucco

Trasformare il primo membro in una derivata

Con $\mu(x)=e^{\int p(x)dx}$, il primo membro diventa la derivata di un prodotto:

$$(\mu\,y)' = \mu\,q$$

Da qui basta integrare: un'equazione difficile diventa un calcolo di primitive.

sorpresa

Newton era già un caso particolare

Applicando il fattore integrante alla legge di raffreddamento ($p$ e $q$ costanti), si ritrova esattamente la stessa soluzione trovata separando le variabili.

due strade diverse, stessa destinazione

IL PROBLEMA DI CAUCHY

quale curva, tra infinite?

La condizione iniziale

L'integrale generale contiene una costante libera: infinite soluzioni. Per sceglierne una, basta un punto:

$$\begin{cases} y'=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}$$

un fatto notevole

Curve che non si incrociano mai

Sotto ipotesi ragionevoli su $f$, da ogni punto del piano passa una sola curva integrale.

Due soluzioni distinte della stessa equazione non si toccano mai: è il teorema di esistenza e unicità.

DOVE VIVONO QUESTE EQUAZIONI

elettronica

Il circuito RC

La carica di un condensatore soddisfa $R\dot q + q/C = V_0$: stessa struttura lineare, stessa forma di soluzione.

$$q(t) = CV_0\left(1-e^{-t/RC}\right)$$

meccanica

Caduta con attrito

Con resistenza dell'aria proporzionale alla velocità, esiste una velocità limite: il corpo smette di accelerare, molto prima di toccare terra.

perché un paracadutista non accelera all'infinito

il filo che le unisce

Sempre la stessa forma

Condensatore, caduta con attrito, raffreddamento: fenomeni diversissimi, stessa equazione. Un sistema che si avvicina esponenzialmente a un equilibrio.

riconoscere la stessa forma sotto vesti diverse: il cuore della matematica applicata

OLTRE QUESTA INTRODUZIONE

uno sguardo avanti

Ordini superiori e sistemi

L'oscillatore armonico $y''+\omega^2y=0$, i sistemi preda-predatore, le equazioni alle derivate parziali di calore e onde: tutto nasce dalla stessa idea di partenza.

per chiudere

Non leggi statiche, ma leggi di cambiamento

Dalla meccanica di Newton all'equazione di Schrödinger, le leggi fondamentali della fisica sono quasi sempre equazioni differenziali.

la natura non dice "come sei", dice "come cambi"

DOMANDE?

se la risposta cresce esponenzialmente, va bene lo stesso

grazie dell'attenzione

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Dall’aneddoto all’equazione

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UNA DOMANDA DIVERSA

Equazioni con incognita un numero

Leggi che parlano di variazione

Equazione differenziale

SEPARARE LE VARIABILI

Quando \(x\) e \(y\) si separano

Risolvere \(y'=xy\)

CRESCITA E DECADIMENTO

Quando il ritmo è proporzionale

Il tempo di dimezzamento

Il raffreddamento di Newton

IL FATTORE INTEGRANTE

Equazioni lineari del primo ordine

Trasformare il primo membro in una derivata

Newton era già un caso particolare

IL PROBLEMA DI CAUCHY

La condizione iniziale

Curve che non si incrociano mai

DOVE VIVONO QUESTE EQUAZIONI

Il circuito RC

Caduta con attrito

Sempre la stessa forma

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