Le _derivate_: dal problema della tangente alla definizione formale

Tue, 16 Jun 2026 00:00:00 +0000

Il problema della tangente

Pendenza di una retta

Per stabilire la pendenza di una retta — o meglio la sua inclinazione — è sufficiente fissare due punti sulla retta ed effettuare il rapporto tra l’incremento in direzione $y$ (altezza) e l’incremento in direzione $x$ (lunghezza):

$$\text{inclinazione}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{y_q - y_p}{x_q - x_p} \tag{1}$$

Questo viene definito anche tasso medio di cambiamento o variazione media.

Facendo riferimento all’equazione della generica retta $y = mx + q$, l’inclinazione della retta è chiamato coefficiente angolare:

$$m = \dfrac{y_q - y_p}{x_q - x_p}$$

Il problema con le curve

Quando però la funzione non è una retta, bensì una curva, diventa molto complicato stabilire l’inclinazione. Nel momento in cui si fissano due punti su una curva, l’inclinazione — così com’è stata definita più sopra — rappresenterebbe soltanto un’approssimazione del tasso di variazione reale.

Serve pertanto uno strumento che permetta di calcolare l’inclinazione della curva in ogni suo punto. Questo strumento — anche intuitivamente — non può non essere legato al concetto di limite.

Il rapporto incrementale

Dalla retta secante alla retta tangente

Consideriamo due punti $P$ e $Q$ situati sul grafico di una funzione, quindi appartenenti al suo Insieme di Definizione:

$P(x, f(x))$
$Q(x+h, f(x+h))$

La pendenza della retta passante per i due punti $P$ e $Q$ — chiamata retta secante — è:

$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{2}$$

Dal punto di vista della curva, questo rapporto rappresenta soltanto l’inclinazione di una retta secante passante per due punti appartenenti alla funzione.

Però notiamo qualcosa di cruciale:

L’intuizione chiave:

La precisione riguardo al calcolo della pendenza aumenta all’avvicinarsi di $Q$ a $P$

Nel momento in cui i due punti coincideranno esisterà un’unica retta passante per quel punto e quella retta non potrà che essere la tangente alla curva nel punto $P$. La sua inclinazione $m$ — il coefficiente angolare — è proprio quello che cerchiamo.

La secante si trasforma in tangente al limite!

La formula della retta secante

La retta passante per $P$ e $Q$ ha equazione:

$$y-y_p=(y_q-y_p) \cdot \dfrac{x-x_p}{x_q-x_p}$$

Sostituendo i nostri punti:

$$f(x) - f(x_0) = \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot (x - x_0) \tag{3}$$

Il termine al numeratore della frazione rappresenta il coefficiente angolare della retta secante alla curva della funzione $f(x)$.

Definizione del rapporto incrementale

$$\text{Rapporto incrementale}=\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \tag{RI}$$

È il rapporto tra gli incrementi in $y$ e in $x$.

La derivata: dalla pendenza media alla pendenza puntuale

Dal limite nasce la derivata

La derivata di una funzione è definita come il limite — ove questo esista e sia finito — del rapporto incrementale:

$$f’(x) = \dfrac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \tag{D}$$

Questa definizione cattura l’idea fondamentale: quando avviciniamo infinitamente il secondo punto al primo, la retta secante diventa la retta tangente, e il suo coefficiente angolare diventa la pendenza della curva esattamente in quel punto.

Significati della derivata

La derivata di una funzione ha due interpretazioni parallele:

Geometricamente: rappresenta l’inclinazione — il coefficiente angolare — della retta tangente al grafico della funzione in un punto.
Analiticamente: rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione in esame. È la velocità con cui la funzione cambia in quel preciso istante.

Un esempio dalla fisica

In fisica, l’accelerazione rappresenta il tasso di variazione della velocità — cioè la derivata della velocità rispetto al tempo. Allo stesso modo, la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo.

Conclusione

Il viaggio dalla semplice domanda “qual è la pendenza di una curva?” ci ha portato a scoprire uno dei concetti più potenti della matematica: la derivata.

Dalle rette alle curve, dai rapporti medi ai tassi istantanei, dalla geometria all’analisi — la derivata è il cuore pulsante del calcolo differenziale, uno strumento indispensabile non solo in matematica, ma in ogni disciplina dove il cambiamento è protagonista.

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