I Numeri Complessi

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 +0000

quinto anno — corso pro

I Numeri Complessi

dalla necessità algebrica alla struttura geometrica

prof. Diego Fantinelli — The Math of Things

I numeri complessi sono una benedizione per l'umanità, incomprensibile per molti, di cui però non si può fare a meno. — Parafrasando Gottfried Leibniz

IL PROBLEMA

un'equazione impossibile

$x^2 + 1 = 0$

Nell'insieme $\mathbb{R}$ questa equazione non ha soluzioni: nessun quadrato reale è negativo.

Ma i Greci già risolvevano le equazioni di secondo grado. Nel Rinascimento, con le equazioni cubiche, il problema diventa urgente: certe formule richiedono radici di numeri negativi anche quando la soluzione finale è reale.

un'equazione che chiede aiuto a un numero che non esiste — ancora

la soluzione

Un nuovo insieme numerico

Si definisce l'insieme $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$, con due operazioni:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,\ b+d)$

$(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\ ad+bc)$

Si verifica che $(\mathbb{C},+,\cdot)$ è un campo: stessa struttura algebrica di $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$.

l'unità immaginaria

Il numero che serviva

Ponendo $i=(0,1)$, si calcola: $i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = (-1, 0)$.

$$i^2=-1$$

Esattamente il numero che serviva per risolvere $x^2+1=0$: le sue soluzioni sono $x=\pm i$.

FORMA ALGEBRICA

notazione

$z = a + bi$

$a$: parte reale, $\mathrm{Re}(z)$
$b$: parte immaginaria, $\mathrm{Im}(z)$
$i$: unità immaginaria, $i^2=-1$

un numero con due anime: una reale, una immaginaria

operazioni

Somma e prodotto

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Si calcola come un prodotto di binomi, imponendo $i^2=-1$ ogni volta che compare.

un dettaglio cruciale

Le potenze di $i$

Sono cicliche di periodo 4:

$i^0=1 \quad i^1=i \quad i^2=-1 \quad i^3=-i \quad i^4=1 \ \dots$

Per calcolare $i^n$ con $n$ grande: basta il resto della divisione di $n$ per 4.

$i^{37}$? Solo il resto conta: $37 = 4\cdot9+1 \Rightarrow i^{37}=i$

strumenti

Coniugato e modulo

coniugato: $\bar z = a-bi$
modulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$$z\cdot\bar z = |z|^2$$

Da questa identità nasce il reciproco: $\dfrac1z=\dfrac{\bar z}{|z|^2}$, e quindi la divisione tra complessi.

IL PIANO COMPLESSO

Gauss, Argand, Wessel

Dall'algebra alla geometria

Ogni $z=a+bi$ corrisponde al punto $P(a,b)$ del piano — o al vettore $\overrightarrow{OP}$.

L'astratto diventa visibile: somma, modulo, coniugato hanno un significato geometrico immediato.

$|z|$ è la distanza di $P$ dall'origine. $\bar z$ è il simmetrico di $P$ rispetto all'asse reale. $|z-w|$ è la distanza tra due punti.

un esempio geometrico

Luoghi nel piano complesso

$|z-(2+i)|=3$ rappresenta i punti a distanza 3 da $(2,1)$:

una circonferenza di centro $(2,1)$, raggio 3

l'equazione di un cerchio, travestita da numero complesso

FORMA TRIGONOMETRICA

coordinate polari

$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$

modulo: $\rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
argomento: $\theta=\arg(z)$, tenendo conto del quadrante

stesso numero, due lingue diverse: cartesiana e polare

il vantaggio

Prodotto e quoziente

$z\cdot w=\rho_1\rho_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big]$

$\dfrac{z}{w}=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\big[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big]$

I moduli si moltiplicano (o dividono), gli argomenti si sommano (o sottraggono).

elevare a potenza

La formula di De Moivre

$$z^n=\rho^n\big[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big]$$

Conseguenza diretta e ripetuta della formula del prodotto: si dimostra per induzione su $n$.

il colpo di scena

Radici n-esime

Un numero complesso non nullo ha esattamente $n$ radici $n$-esime distinte — non una sola, come nei reali.

$$z_k=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right), \ k=0,\dots,n-1$$

$\sqrt{4}$ non è solo 2: nei complessi, ogni radice porta amici

geometria delle radici

Vertici di un poligono regolare

Le $n$ radici $n$-esime hanno tutte lo stesso modulo $\sqrt[n]\rho$, e i loro argomenti differiscono di $2\pi/n$: formano i vertici di un poligono regolare di $n$ lati.

Esempio: le radici quarte di 1 sono $1, i, -1, -i$ — i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza unitaria.

FORMA ESPONENZIALE

Eulero, 1748

La formula più bella

La prima formula di Eulero collega esponenziale e trigonometria:

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Ogni complesso si scrive anche come $z=\rho e^{i\theta}$ — la forma esponenziale.

il caso $\theta=\pi$

L'identità di Eulero

$$e^{i\pi}+1=0$$

Cinque costanti fondamentali — $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$ — in un'unica uguaglianza.

se la matematica avesse una hit, sarebbe questa

il vantaggio

Calcolare con gli esponenti

$z\cdot w=\rho_1\rho_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)} \quad \dfrac{z}{w}=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)} \quad z^n=\rho^n\,e^{in\theta}$

Prodotto, quoziente e potenza diventano manipolazioni di esponenti — proprio come per i numeri reali.

EQUAZIONI IN C

il caso $\Delta < 0$

Ogni equazione ha soluzione

In $\mathbb{C}$, anche $ax^2+bx+c=0$ con $\Delta<0$ ha soluzioni:

$$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$

Le due soluzioni sono sempre complesse coniugate, quando i coefficienti sono reali.

il risultato più profondo

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio di grado $n\ge1$ a coefficienti complessi ha esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$ (contate con molteplicità).

$\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso: non serve ampliarlo ulteriormente per risolvere equazioni polinomiali.

APPLICAZIONI

non solo algebra

Dove vivono i numeri complessi

Elettrotecnica

$V(t)=V_0e^{i\omega t}$ — impedenza complessa per circuiti in corrente alternata

Meccanica quantistica

la funzione d'onda $\psi(x,t)$ è a valori complessi; $|\psi|^2$ è una probabilità

Frattali

l'insieme di Mandelbrot nasce iterando $z_{n+1}=z_n^2+c$

numeri nati per un'equazione impossibile, oggi ovunque nella tecnologia

DOMANDE?

l'unico numero che non ha bisogno di essere immaginato è quello di domande che avete

grazie dell'attenzione

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IL PROBLEMA

$x^2 + 1 = 0$

Un nuovo insieme numerico

Il numero che serviva

FORMA ALGEBRICA

$z = a + bi$

Somma e prodotto

Le potenze di $i$

Coniugato e modulo

IL PIANO COMPLESSO

Dall'algebra alla geometria

Luoghi nel piano complesso

FORMA TRIGONOMETRICA

$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$

Prodotto e quoziente

La formula di De Moivre

Radici n-esime

Vertici di un poligono regolare

FORMA ESPONENZIALE

La formula più bella

L'identità di Eulero

Calcolare con gli esponenti

EQUAZIONI IN C

Ogni equazione ha soluzione

Teorema fondamentale dell'algebra

APPLICAZIONI

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Elettrotecnica

Meccanica quantistica

Frattali

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