2022 | The Math of Things

Il _dilemma_ di Monty Hall

Sat, 23 Jul 2022 00:00:00 +0000

The function of wisdom is to discriminate between good and evil
— Cicerone

Introduzione alla probabilità

In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio in palio, un’automobile; le altre due nascondono una capra. Il giocatore sceglie una delle tre porte, poi il conduttore, che sa qual è quella vincente, ne apre un’altra mostrando una capra. A questo punto il concorrente deve fare la scelta definitiva:

è più conveniente confermare oppure cambiare porta per ottenere il premio?

Il quesito è noto come dilemma o paradosso di Monty Hall, dal nome del conduttore del celebre gioco a premi televisivo americano Let’s Make a Deal.

Quando nel 1990 un lettore della rivista Parade scrisse alla rubrica Ask Marilyn chiedendo quale fosse la strategia vincente, il problema si trasformò in un’accesa controversia.

La soluzione proposta da Marilyn Vos Savant, presente nel Guinness dei Primati per il suo altissimo quoziente d’intelligenza, scatenò una valanga di lettere di contestazione, molte delle quali provenivano da matematici e accademici che accusavano Vos Savant di ignorare la teoria della probabilità.
Il giornale diventò l’arena di un furente botta e risposta: da una parte Vos Savant, secondo la quale al giocatore conviene sempre cambiare porta; dall’altra chi sosteneva che è indifferente scegliere l’una o l’altra delle due porte rimanenti. Il caso finì persino in prima pagina sul New York Times, acquisendo in breve tempo un’enorme popolarità.

Chi aveva ragione?

Esaminiamo il problema:

secondo la definizione classica della probabilità di un evento, data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, quando il concorrente sceglie una delle tre porte chiuse ha una probabilità pari a $\dfrac{1}{3}$ di vincere il premio.
Dopo che il presentatore ha aperto una porta, mostrando una capra, si potrebbe pensare che la probabilità di aver indovinato la porta esatta salga da $\dfrac{1}{3}$ a $\dfrac{1}{2}$.
- Dopo tutto, restano due porte chiuse e una delle due nasconde l’auto. Pertanto, la probabilità che questa sia dietro l’una o dietro l’altra è identica e pari a $\dfrac{1}{2}$.
- A questo punto il giocatore può scegliere a piacimento, perché è indifferente cambiare o non cambiare.
Risposta sbagliata !
Infatti, il concorrente ha ancora una probabilità su tre di aver indovinato la porta esatta.
- La probabilità che l’automobile sia dietro una delle due porte non scelte è $\dfrac{2}{3}$ e, quando il presentatore rivela quale di queste due non nasconde il premio, la probabilità che l’automobile sia dietro l’altra porta è ancora $\dfrac{2}{3}$.
- Di conseguenza, se il giocatore mantiene la scelta iniziale, ha una probabilità di vincere pari a $\dfrac{1}{3}$, se cambia, pari a $\dfrac{2}{3}$.

un approccio diverso

Si può arrivare alla stessa conclusione seguendo un’altra argomentazione, che convincerà i più scettici.

Partiamo dal presupposto (fondamentale!) che il conduttore conosce qual è la porta che nasconde l’automobile e apre sempre una porta con dietro una capra.

Ora, supponiamo che la prima porta scelta dal giocatore sia sbagliata e nasconda una capra. Il conduttore non ha scelta e aprirà l’altra porta con la capra. In questo caso, se il giocatore cambia porta, vince.
Se invece la prima porta scelta dal giocatore è esatta e il giocatore cambia, ovviamente perde.
- Possiamo concludere che, se il giocatore cambia porta, vince se e solo se la sua prima scelta era sbagliata, evento che ha probabilità pari a $\dfrac{2}{3}$.
- Se la strategia del giocatore è di non cambiare mai, vince se e solo se la sua prima scelta è corretta, evento con probabilità $\dfrac{1}{3}$.
Anche se apparentemente contro-intuitiva, la risposta di Vos Savant era esatta.

Perché allora moltissime persone rimasero persuase del contrario?

Alla base della controversia c’è probabilmente un punto chiave del problema: il conduttore sa qual è la porta vincente.
Se il conduttore non sapesse dove si nasconde l’automobile (e quindi potesse anche aprire la porta fortunata), allora al giocatore resterebbero due porte con identica probabilità: cambiando o non cambiando, il concorrente avrebbe la stessa probabilità di vincere o perdere.

Questo paradosso è una variante del paradosso delle tre carte del matematico americano Warren Weaver (1950), il quale, a sua volta, deriva dal paradosso delle tre scatole, formulato per la prima volta nel 1889 dal matematico francese Joseph Bertrand.

BMI — Indice di Massa Corporea

Sun, 10 Jul 2022 00:00:00 +0000

" Faith in oneself is the best and safest course. "
— Michelangelo

L’indice di massa corporea (abbreviato IMC o BMI, dall’inglese body mass index) è un dato biometrico, espresso come rapporto tra peso e quadrato dell’altezza di un individuo ed è utilizzato come un indicatore dello stato di peso forma.

Storia

Adolphe Quetelet, matematico e statistico belga, nei suoi studi sui dati antropometrici della crescita umana concluse che “il peso cresce con il quadrato dell’altezza”, descrivendo nel 1832 il rapporto tra le due misure: l’indice Quetelet.

Oltre un secolo dopo l’indice Quetelet è stato utilizzato negli studi sull’obesità. Il nome Body Mass Index è stato introdotto dal fisiologo Ancel Keys nel 1972.

Descrizione

Questo indice è di frequente utilizzato in maniera grossolana, in quanto non integrato da un fattore basilare come il sesso e da caratteristiche morfologiche di base quali larghezza delle spalle, larghezza ossea del bacino, circonferenza cranica, rapporto tra lunghezza delle gambe e lunghezza del tronco, corporatura di tipo tendenzialmente muscoloso o flaccido e altri fattori. È inoltre fondamentale considerare la percentuale di massa grassa e massa magra del soggetto.

Ad esempio, un paziente di $90 \mathrm{~kg}$ e $175 \mathrm{~cm}$ di altezza può essere normopeso, se ha una percentuale di massa magra (muscolare) maggiore della percentuale di massa grassa.

Operativamente l’indice di massa corporea si calcola come il rapporto tra la massa-peso, espressa in chilogrammi, e il quadrato dell’altezza, espressa in metri.

Esempio 1: Altezza 1,70 m; massa $62 \mathrm{~kg}$:

$$ \text { IMC }=\frac{\text { Massa }}{(\text { Altezza })^{2}}=\frac{62}{(1,7)^{2}}=\frac{62}{2,89}=21,5 \text { (peso regolare) } $$

Esempio 2 - il mio IMC: Altezza 1,90 m; massa $71 \mathrm{~kg}$:

$$ \text { IMC }=\frac{\text { Massa }}{(\text { Altezza })^{2}}=\frac{71}{(1,90)^{2}}=\dfrac{71}{3,61}=19,67 \text { (peso regolare) } $$

L’indice di massa corporea consigliato dipende da età e sesso, nonché da fattori genetici, alimentazione, condizioni di vita, condizioni sanitarie e altre.
L’Organizzazione Mondiale della Sanità (WHO) e la medicina nutrizionale usano delle tabelle come la seguente per definire termini come “magrezza” fino a “obesità”. Si ritiene che questa indicazione sia un importante indicatore per la mortalità (fattore rischio).

situazione peso	min	max
Obesità di III classe (gravissima)	$>40,00$	-
Obesità di II classe (grave)	$35,01$	$40,00$
Obesità di I classe (moderata)	$30,01$	$35,00$
Sovrappeso	$25,01$	$30,00$
Regolare	$18,51$	$25,00$
Leggermente sottopeso	$17,51$	$18,50$
Sottopeso	$16,01$	$17,50$
Grave magrezza (inedia)	-	$< 16,01$

Alcune organizzazioni diverse dalla WHO hanno introdotto altre suddivisioni, come quella del Super obeso (BMI >50) o Super super obeso (BMI >60).
Molto più importante della percentuale di massa grassa è la distribuzione dell’adipe nel corpo. Una serie di studi ha mostrato che il grasso viscerale, misurato dalla circonferenza addominale, determina il maggiore rischio di eventi cardiovascolari acuti.
- Avere un BMI normale e alta obesità addominale è risultato essere più pericoloso che avere un BMI totale da obesi. Il BMI è quindi un indice parziale che dovrebbe essere integrato o che può essere sostituito dal parametro della circonferenza addominale.
Secondo uno studio presentato il 27 agosto 2012 al congresso della Società Europea di Cardiologia condotto su 12.785 pazienti per un periodo di 14 anni, gli individui di peso normale con obesità addominale hanno una probabilità di morte maggiore del 50% rispetto a quelli con un normale indice di massa corporea e un normale rapporto girovita/fianchi.
- Simili risultati tramite lo studio IDEA, condotto da 6.407 medici di 63 nazioni su 177.345 pazienti di età compresa tra i 18 e gli 80 anni; lo studio INTERHEART, su 30.000 pazienti in unità di terapia intensiva in 52 Paesi; lo studio Kuopio Ischemic Heart Desease (KHID) Risk Factory Study, in Finlandia.

Il concetto di _Modello Matematico_

Wed, 30 Mar 2022 00:21:00 +0000

Il concetto di modello matematico

Probabilità e particelle

Nel 1820 Pierre Simon de Laplace, nel suo Théorie analytique des probabilités, scriveva: “Noi dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un’intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze di cui è animata la natura $[\ldots]$ abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto presente ai suoi occhi”

Laplace riteneva che il calcolo delle probabilità fosse utile in tutte quelle situazioni in cui è difficile ottenere informazioni molto precise sulle grandezze in gioco, ma che sarebbe possibile conoscere con esattezza posizione e velocità di ogni singola particella dell’universo.

Nel 1927 Werner Heisenberg enunciava il principio di indeterminazione, affermando che il prodotto delle incertezze di due grandezze coniugate (per esempio, posizione e quantità di moto) non può essere minore del rapporto fra la costante di Planck e $2 \pi$.

Nel mondo macroscopico gli effetti di questo principio sono irrilevanti, perché la costante di Planck è molto piccola.

Nel mondo atomico e subatomico, invece, le conseguenze sono significative e sorprendenti.

Per esempio, affermare che non è possibile conoscere con la precisione voluta sia la quantità di moto sia la posizione di una particella, implica che perde significato il concetto di traiettoria.

Non ha quindi senso parlare di traiettoria di un elettrone, ma solo di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione. A differenza di ciò che affermava Laplace, l’approccio probabilistico non è allora un utile stratagemma per ovviare alla nostra ignoranza, ma una necessità per comprendere la natura del mondo.

Nei casi concreti, l’analisi e la modellizzazione di un fenomeno casuale avviene solitamente secondo le fasi sintetizzate nel seguente schema.

graph TD A[Esperimento Casuale] --> B(osservazione) B --> |statistica descrittiva| C[analisi dati] C --> D{confronto} A --> E(modello) E -->|Calcolo delle Probabilità| G[Previsioni] G --> D D --> H[validazione o
correzione del modello]

La costruzione del modello del fenomeno casuale consiste nel definire alcune variabili aleatorie che descrivono il fenomeno in esame e assegnare a tali variabili aleatorie una distribuzione di probabilità.
- Questa fase è la più delicata perché comporta un certo grado di arbitrarietà nella scelta della distribuzione più adeguata.
Naturalmente, nella costruzione del modello non si procede arbitrariamente, ma si cerca di descrivere nel miglior modo possibile gli aspetti d’interesse del fenomeno che si sta studiando.
Tuttavia, dopo aver trovato un modello che, almeno a priori, sembra ragionevole, esso dovrà essere messo alla prova, confrontando le previsioni che consente di effettuare con i dati empirici.
- Nel caso si riscontrino delle significative discrepanze con i dati reali, occorre cercare di modificare il modello per renderlo più aderente alla realtà;
- nel caso in cui, invece, si abbia conferma di aver trovato un buon modello, non è tuttavia detto che esso sia necessariamente l’unico valido o che non sia ulteriormente migliorabile.

Si intravede così la moderna concezione di modello matematico come rappresentazione formale di un fenomeno, che non pretende di spiegarlo o di scoprirne l’intima essenza, ma solo di darne un’immagine che descriva bene alcuni suoi aspetti.

Un modello va dunque valutato soltanto in base alla sua efficacia e un buon modello non è detto che sia l’unico possibile. Si tratta di un approccio opposto a quello della fisica classica:
- per Newton l’obiettivo fondamentale non era l’utilità ma la ricerca della verità, la scoperta delle cause di un fenomeno, la loro spiegazione, fino a giungere alla causa prima.
- Non è un caso, quindi, che la moderna modellistica matematica e la diffusione dei modelli matematici anche nell’ambito di discipline diverse dalla fisica abbiano avuto origine proprio con la crisi di uno dei principi fondamentali della fisica classica: quello del determinismo, secondo cui la conoscenza della posizione e della velocità di un punto materiale, nonché della legge del suo moto, determinano in modo univoco la sua evoluzione.
A scardinare questo principio fu principalmente la scoperta, da parte di Werner Karl Heisenberg (1927), che a livello microscopico la posizione e la velocità di una particella non possono essere determinate simultaneamente; si può soltanto determinare la probabilità che la particella si trovi in un punto anziché in un altro, oppure che abbia una velocità piuttosto che un’altra.

Il comportamento della particella non può dunque essere previsto in modo certo, come normalmente accadeva nella fisica classica.

Ne seguì una progressiva crisi della concezione puramente deterministica, che lasciò gradualmente spazio a un approccio nuovo ai problemi, di tipo modellistico e probabilistico, ben sintetizzato dalle parole di uno dei massimi scienziati del novecento, John von Neumann (1903-1957):

“Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni, cioè che descriva correttamente i fenomeni di un’area ragionevolmente ampia”.