matematica per il triennio
quando la fortuna
incontra la matematica
prof. Diego Fantinelli — The Math of Things
"Dio non gioca a dadi con l'universo." — Albert Einstein Ma i matematici sì.
il concetto fondamentale
La probabilità misura quanto è probabile che accada un evento. È un numero tra 0 e 1.
Evento impossibile:
P = 0
Non accade mai
Evento certo:
P = 1
Accade sempre
$0 \lt P(\text{evento}) \lt 1$ = probabilità che l'evento accada
esperimento 1: il dado
Spazio campionario:
$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Probabilità di un numero:
$$P(\text{un numero}) = \frac{1}{6}$$
la moneta non tradisce
Due esiti equiprobabili:
$$P(\text{Testa}) = P(\text{Croce}) = \frac{1}{2}$$
Se la moneta è equa, testa e croce hanno la stessa probabilità.
proporzionalità
Facciamo un rapido sondaggio: chi preferisce i dadi, chi la moneta, chi l'astrologia?
il lotto italiano
Numero totale:
90 numeri
Numero estratto:
1 numero
Qual è la probabilità che vinca il mio numero?
$$P(\text{vincere}) = \frac{1}{90} \approx 1.1\%$$
È più probabile che il tuo cognato ti presti soldi
il gioco della roulette
La roulette francese ha 37 numeri (0–36). Se punti su un numero:
$$P(\text{vinci}) = \frac{1}{37} \approx 2.7\%$$
Ma se vinci, il casinò ti paga solo 35 volte la puntata!
Dovrebbe pagarti 36 volte (37 − 1 per la puntata). Lui ne paga solo 35. Ecco il guadagno del casinò!
Il casinò non è truccato. È matematicamente sleale.
value & risk
Il valore atteso è quanto ci aspettiamo di guadagnare (o perdere) in media da un gioco.
Esempio: punto 1 euro sulla roulette su un numero:
Vinci (prob 1/37): guadagni 35 euro
Perdi (prob 36/37): perdi 1 euro
$$E = \frac{1}{37} \cdot 35 + \frac{36}{37} \cdot (-1) =$$
$$= \frac{35 - 36}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$$
In media, perdi 2.7 centesimi ogni volta che punti 1 euro. Su 1000 scommesse: 27 euro in meno.
il verdetto
GIOCO EQUO
Valore atteso = 0
Non si guadagna né si perde
Esempio: lanciare una moneta e scommettere
GIOCO SLEALE
Valore atteso < 0
Il banco ha vantaggio
Esempio: roulette, lotto, gratta e vinci
in breve
La buona notizia: la matematica non mente. La cattiva notizia: il casinò sa bene di mentire.
La probabilità ti insegna a leggere il mondo.
Prossima lezione: Calcoliamo le probabilità sul serio