quinto anno — corso pro
dalla necessità algebrica alla struttura geometrica
prof. Diego Fantinelli — The Math of Things
I numeri complessi sono una benedizione per l'umanità, incomprensibile per molti, di cui però non si può fare a meno. — Parafrasando Gottfried Leibniz
un'equazione impossibile
Nell'insieme $\mathbb{R}$ questa equazione non ha soluzioni: nessun quadrato reale è negativo.
Ma i Greci già risolvevano le equazioni di secondo grado. Nel Rinascimento, con le equazioni cubiche, il problema diventa urgente: certe formule richiedono radici di numeri negativi anche quando la soluzione finale è reale.
un'equazione che chiede aiuto a un numero che non esiste — ancora
la soluzione
Si definisce l'insieme $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$, con due operazioni:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,\ b+d)$
$(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\ ad+bc)$
Si verifica che $(\mathbb{C},+,\cdot)$ è un campo: stessa struttura algebrica di $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$.
l'unità immaginaria
Ponendo $i=(0,1)$, si calcola: $i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = (-1, 0)$.
$$i^2=-1$$
Esattamente il numero che serviva per risolvere $x^2+1=0$: le sue soluzioni sono $x=\pm i$.
notazione
un numero con due anime: una reale, una immaginaria
operazioni
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
Si calcola come un prodotto di binomi, imponendo $i^2=-1$ ogni volta che compare.
un dettaglio cruciale
Sono cicliche di periodo 4:
$i^0=1 \quad i^1=i \quad i^2=-1 \quad i^3=-i \quad i^4=1 \ \dots$
Per calcolare $i^n$ con $n$ grande: basta il resto della divisione di $n$ per 4.
$i^{37}$? Solo il resto conta: $37 = 4\cdot9+1 \Rightarrow i^{37}=i$
strumenti
$$z\cdot\bar z = |z|^2$$
Da questa identità nasce il reciproco: $\dfrac1z=\dfrac{\bar z}{|z|^2}$, e quindi la divisione tra complessi.
Gauss, Argand, Wessel
Ogni $z=a+bi$ corrisponde al punto $P(a,b)$ del piano — o al vettore $\overrightarrow{OP}$.
L'astratto diventa visibile: somma, modulo, coniugato hanno un significato geometrico immediato.
$|z|$ è la distanza di $P$ dall'origine. $\bar z$ è il simmetrico di $P$ rispetto all'asse reale. $|z-w|$ è la distanza tra due punti.
un esempio geometrico
$|z-(2+i)|=3$ rappresenta i punti a distanza 3 da $(2,1)$:
una circonferenza di centro $(2,1)$, raggio 3
l'equazione di un cerchio, travestita da numero complesso
coordinate polari
stesso numero, due lingue diverse: cartesiana e polare
il vantaggio
$z\cdot w=\rho_1\rho_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big]$
$\dfrac{z}{w}=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\big[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big]$
I moduli si moltiplicano (o dividono), gli argomenti si sommano (o sottraggono).
elevare a potenza
$$z^n=\rho^n\big[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big]$$
Conseguenza diretta e ripetuta della formula del prodotto: si dimostra per induzione su $n$.
il colpo di scena
Un numero complesso non nullo ha esattamente $n$ radici $n$-esime distinte — non una sola, come nei reali.
$$z_k=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right), \ k=0,\dots,n-1$$
$\sqrt{4}$ non è solo 2: nei complessi, ogni radice porta amici
geometria delle radici
Le $n$ radici $n$-esime hanno tutte lo stesso modulo $\sqrt[n]\rho$, e i loro argomenti differiscono di $2\pi/n$: formano i vertici di un poligono regolare di $n$ lati.
Esempio: le radici quarte di 1 sono $1, i, -1, -i$ — i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza unitaria.
Eulero, 1748
La prima formula di Eulero collega esponenziale e trigonometria:
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$
Ogni complesso si scrive anche come $z=\rho e^{i\theta}$ — la forma esponenziale.
il caso $\theta=\pi$
$$e^{i\pi}+1=0$$
Cinque costanti fondamentali — $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$ — in un'unica uguaglianza.
se la matematica avesse una hit, sarebbe questa
il vantaggio
$z\cdot w=\rho_1\rho_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)} \quad \dfrac{z}{w}=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)} \quad z^n=\rho^n\,e^{in\theta}$
Prodotto, quoziente e potenza diventano manipolazioni di esponenti — proprio come per i numeri reali.
il caso $\Delta < 0$
In $\mathbb{C}$, anche $ax^2+bx+c=0$ con $\Delta<0$ ha soluzioni:
$$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$
Le due soluzioni sono sempre complesse coniugate, quando i coefficienti sono reali.
il risultato più profondo
Ogni polinomio di grado $n\ge1$ a coefficienti complessi ha esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$ (contate con molteplicità).
$\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso: non serve ampliarlo ulteriormente per risolvere equazioni polinomiali.
non solo algebra
$V(t)=V_0e^{i\omega t}$ — impedenza complessa per circuiti in corrente alternata
la funzione d'onda $\psi(x,t)$ è a valori complessi; $|\psi|^2$ è una probabilità
l'insieme di Mandelbrot nasce iterando $z_{n+1}=z_n^2+c$
numeri nati per un'equazione impossibile, oggi ovunque nella tecnologia
l'unico numero che non ha bisogno di essere immaginato è quello di domande che avete
grazie dell'attenzione