In fisica e in matematica è impressionante la sproporzione tra lo sforzo per capire una cosa nuova per la prima volta e la semplicità e naturalezza del risultato una volta che i vari passaggi sono stati compiuti. Nel prodotto finito, nelle scienze come in poesia, non c'è traccia della fatica del processo creativo e dei dubbi e delle esitazioni che lo accompagnano. — Giorgio Parisi, "In un volo di storni" (2021)

definizione

La relazione $\mathscr{R}$

Dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$, si dice relazione tra $A$ e $B$ — e si indica con $\mathscr{R}$ — una legge che associa elementi dell'insieme $A$ a elementi dell'insieme $B$.

notazione

$\mathscr{R}: A \longrightarrow B$

per elementi

$\mathscr{R}: a \in A \longrightarrow b \in B$

caso particolare

se $\mathscr{R}$ opera tra $A$ e se stesso, si dice relazione nell'insieme $A$

come i social network, ma qui i collegamenti hanno una logica

definizioni

Dominio e codominio

Dominio di $\mathscr{R}$: l'insieme degli elementi di $A$ associati ad almeno un elemento di $B$.

Codominio di $\mathscr{R}$: l'insieme degli elementi di $B$ associati ad almeno un elemento di $A$.

definizioni

Immagine e controimmagine

Se $a \,\mathscr{R}\, b$, l'elemento $b$ si dice immagine di $a$ nella relazione $\mathscr{R}$.

L'elemento $a$ si dice controimmagine di $b$.

Quindi: il dominio è l'insieme degli elementi di $A$ che hanno almeno una immagine in $B$; il codominio è l'insieme degli elementi di $B$ che hanno almeno una controimmagine in $A$.

definizione

La funzione $f: X \longrightarrow Y$

Dati due insiemi non vuoti $X$ e $Y$, si dice funzione da $X$ a $Y$ una legge che associa a ogni elemento $x$ di $X$ uno e un solo elemento $y$ di $Y$.

in forma compatta:

$$y = f(x)$$

a ogni x uno e un solo y: la monogamia, matematicamente

lessico

Le parole delle funzioni

dominio

l'insieme $X$ di partenza: i valori per cui $f$ è definita

codominio

l'insieme $Y$ di arrivo

immagine

l'insieme dei valori $y \in Y$ tali che $y = f(x)$ per almeno un $x \in X$

controimmagine

dato $y \in Y$, l'insieme degli $x \in X$ tali che $f(x) = y$

proprietà

Tre famiglie notevoli

biunivoca: quando ogni y ha trovato la sua x, e viceversa

dividere il lavoro

Come riconosciamo una funzione

Lo studio di una funzione è il percorso che va da un'equazione matematica al suo grafico. Per affrontarlo con metodo, prima classifichiamo la funzione: sapere che cosa stiamo cercando facilita la ricerca.

La classificazione risponde a una semplice domanda: che tipo di operazioni contiene? Una funzione può essere algebrica (solo operazioni algebriche) oppure trascendente (esponenziali, logaritmi, trigonometria).

funzioni algebriche

Razionali vs irrazionali

razionali intere

$y = P(x)$ — polinomi: $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$. Dominio: $\mathbb{R}$.

razionali fratte

$y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ — rapporto di polinomi. Escludi gli zeri del denominatore.

irrazionali intere

$y = \sqrt[n]{g(x)}$ — radici: $y = \sqrt{x^2 - 9}$. Attenzione al dominio (radicando $\geq 0$ se $n$ pari).

irrazionali fratte

Radice al numeratore, polinomio al denominatore: combina i vincoli di entrambe.

le razionali vivono ovunque; le irrazionali hanno un senso critico sul loro dominio

funzioni trascendenti

Quelle che non si calcano con le mani

esponenziali

$y = a^x$ (con $a \gt 0, a \neq 1$), oppure $y = a^{g(x)}$. Esempio: $y = 2^x$, $y = e^{x^2-1}$. Dominio: $\mathbb{R}$.

logaritmiche

$y = \log_a(x)$ o $y = \log_a(g(x))$. Vincolo: $g(x) \gt 0$. Esempi: $y = \ln(x)$, $y = \log_2(x^2-4)$.

goniometriche

Seno, coseno ($\mathbb{R}$), tangente (escludendo $\frac{\pi}{2}+k\pi$). Anche arcsin, arccos, arctan.

le trascendenti amano i limiti e gli infiniti: il loro grafico spesso "scappa"

il perché

Lo studio di funzione

Partire da un'equazione — magari complicata — e arrivare a un grafico è il cuore dell'analisi: vedere la forma della curva è capire il comportamento della funzione.

Chiediti sempre: dove cresce? Dove decresce? Ha simmetrie? Ha asintoti? Che cosa accade agli estremi del dominio? La risposta a queste domande è il disegno del grafico.

E il disegno, a sua volta, è lo strumento che spiega la realtà: modelli di popolazione, curve di raffreddamento, ondate di prezzo — tutto ciò che oscilla, cresce, decresce o tende a un limite ha una funzione dietro.

il metodo

I sei passi dello studio

sei passi, uno schema, un grafico: è geometria che nasce dall'algebra

il calcolo

I sei passi avanzati

dalla carta al calcolo: è qui che la funzione rivela i suoi segreti

Grafico finale

dal primo passo all'ultimo: l'equazione diventa immagine, l'astratto diventa visibile

Unendo tutti i dodici passi — dominio, zeri, simmetrie, segno, limiti, derivate, concavità — otteniamo il grafico completo e preciso. Ogni curva, ogni asintoto, ogni cambio di direzione racconta la storia della funzione.

funzioni notevoli

Le proporzionalità

diretta

$y = kx$ — una retta per l'origine

quadratica

$y = kx^2$ — una parabola con vertice nell'origine

inversa

$y = \dfrac{k}{x}$ — un'iperbole equilatera

k fa tutto il lavoro, ma il merito va sempre a x

funzioni goniometriche

La funzione seno

$y = \sin x$

periodica di periodo $2\pi$, limitata: $-1 \leq \sin x \leq 1$

funzioni goniometriche

La funzione coseno

$y = \cos x$

stessa onda del seno, sfasata di $\dfrac{\pi}{2}$

funzioni goniometriche

La funzione tangente

$y = \tan x$

periodica di periodo $\pi$, non definita per $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

anche le funzioni hanno i loro limiti

esempio

L'elettrocardiogramma

L'ECG registra e rappresenta graficamente l'attività elettrica del cuore: dalla lettura del grafico il cardiologo ottiene indicazioni sullo stato del cuore.

È una funzione del tempo: a ogni istante $t$ corrisponde uno e un solo valore del potenziale elettrico.

$$V = f(t)$$

l'unica funzione che tifiamo resti periodica

le variabili in gioco

Leggere il tracciato

onda P

depolarizzazione atriale: piccola onda positiva

complesso QRS

depolarizzazione ventricolare: il picco che riconosciamo tutti

onda T

ripolarizzazione ventricolare: il ritorno alle condizioni di base

intervallo QT

l'intera attività elettrica ventricolare

matematicamente

Riconoscere il battito

Il riconoscimento automatico del complesso QRS usa il filtraggio digitale: una trasformazione lineare che al segnale $x_t$ associa un segnale $y_t$

$$y_{t}=\sum_{k=1}^{n} f(k)\, y_{t-k}+\sum_{i=1}^{m} g(i)\, x_{t-i}$$

approfondimento: Studio completo di funzioni razionali

un altro esempio

La funzione Happiness

$$\text{Happiness}(t)=w_{0}+w_{1}\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} CR_{j}+w_{2}\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} EV_{j}+w_{3}\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} RPE_{j}$$

$w_0 \dots w_3$

costanti: il peso dei diversi tipi di evento

$\gamma$

forgetting factor: gli eventi recenti contano di più

$CR_j$

gratificazione ottenuta dalla scelta $j$

$EV_j$

valutazione del rischio sulla scelta $j$

$RPE_j$

differenza tra ricompensa attesa e ottenuta

sì, qualcuno ha davvero provato a mettere la felicità in formula