matematica per il triennio
la matematica che cresce e quella che misura
prof. Diego Fantinelli — The Math of Things
Il più grande difetto della razza umana è la nostra incapacità di comprendere la funzione esponenziale. — Albert A. Bartlett, fisico
una leggenda
Un inventore chiede al re un premio: un chicco di riso sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza… raddoppiando ogni volta.
Sulla casella $n$ ci sono $2^{\,n-1}$ chicchi. Sull'ultima:
$$2^{63} \approx 9.2 \times 10^{18}$$
Più riso di quanto il mondo intero ne produca in secoli.
il re non aveva studiato le esponenziali
definizione
$$y = a^x \qquad (a>0,\; a\neq 1)$$
se $a>1$ → la funzione cresce
se $0 \lt a \lt 1$ → la funzione decresce
passa sempre per $(0,1)$ e resta positiva
la crescita intorno a noi
economia
Un capitale $C_0$ a tasso annuo $i$, dopo $t$ anni, diventa:
$$C(t) = C_0\,(1+i)^{\,t}$$
A un tasso del $5\%$, un capitale raddoppia in circa $14$ anni: gli interessi generano interessi, ed è crescita esponenziale.
Einstein l'avrebbe chiamata l'ottava meraviglia del mondo
epidemiologia
All'inizio di un'epidemia ogni infetto ne contagia altri: i casi raddoppiano a intervalli regolari.
$$I(t) = I_0\, R_0^{\,t}$$
$R_0$ = contagi per infetto. Se $R_0>1$ → esplosione esponenziale.
«flatten the curve» era, letteralmente, addomesticare un'esponenziale
il modello SIR
fisica
Una sostanza radioattiva si dimezza a intervalli fissi — il tempo di dimezzamento $T$:
$$N(t) = N_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$$
È la legge del carbonio-14, con cui si datano reperti e fossili: un'esponenziale decrescente.
il tempo, per un atomo, è solo questione di probabilità
l'idea
L'esponenziale chiede: «quanto vale $a^x$?». Il logaritmo chiede il contrario: «a quale esponente devo elevare $a$ per ottenere $x$?»
$$\log_a x = y \iff a^y = x$$
Esempio: $\log_2 8 = 3$, perché $2^3 = 8$.
il logaritmo è l'esponenziale vista allo specchio
geometricamente
Il grafico di $y=\log_a x$ è il riflesso di $y=a^x$ rispetto alla retta $y=x$.
Sono funzioni inverse: una disfa ciò che l'altra fa.
a cosa servono
Il logaritmo comprime scale enormi in numeri maneggevoli: trasforma i prodotti in somme e le potenze in prodotti.
Per questo molte scale scientifiche sono logaritmiche: ogni passo di $1$ significa moltiplicare per $10$.
geologia
La magnitudo di un terremoto è il logaritmo dell'ampiezza delle onde sismiche.
Da magnitudo $5$ a $6$: l'ampiezza è 10 volte maggiore, l'energia liberata circa 30 volte.
un numero piccolo che nasconde un'energia enorme
chimica
$$\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]$$
Ogni unità di pH in meno = acidità 10 volte maggiore. Il caffè (pH $5$) è cento volte più acido dell'acqua pura (pH $7$).
acustica
Il livello sonoro in decibel cresce come il logaritmo dell'energia del suono.
$+10$ dB significa energia $\times 10$. Un concerto ($110$ dB) non è «poco più» di una conversazione ($60$ dB): è $10^5$ volte più intenso.
ecco perché i tappi per le orecchie sono una buona idea
il legame
modella ciò che cresce o decade moltiplicandosi
$y=a^x$
misura e comprime le scale enormi
$y=\log_a x$
Sono inverse: $\log_a(a^x)=x$ e $a^{\log_a x}=x$. Nella prossima lezione le studieremo a fondo.
crescono in modo esponenziale, si spera
grazie dell'attenzione