Le leggi della natura sono scritte nel linguaggio della matematica, e i suoi caratteri sono... equazioni differenziali. — liberamente da Galileo e Newton

finora

Equazioni con incognita un numero

In \(2x+3=7\), l'incognita \(x\) è un numero. Anche in \(x^2-4x+3=0\) cerchiamo numeri.

E se l'incognita fosse una funzione? E se l'equazione legasse quella funzione al suo ritmo di cambiamento?

l'idea centrale

Leggi che parlano di variazione

La velocità con cui una popolazione cresce dipende da quanti individui ci sono già. La velocità con cui un corpo si raffredda dipende da quanto è più caldo dell'ambiente.

non leggi statiche, ma leggi che si "guardano allo specchio"

definizione

Equazione differenziale

Un'equazione che lega una funzione incognita \(y(x)\) alle sue derivate:

$$y' = f(x,y)$$

Risolverla non significa trovare un numero, ma ritrovare l'intera funzione a partire dal suo tasso di variazione.

il caso più semplice

Quando \(x\) e \(y\) si separano

Se l'equazione ha la forma \(y'=g(x)\,h(y)\), si può "smontare" mettendo tutte le \(y\) da un lato e tutte le \(x\) dall'altro:

$$\int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$$

esempio

Risolvere \(y'=xy\)

Separando: \(\dfrac{dy}{y}=x\,dx\), quindi \(\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+c\).

$$y(x) = C\,e^{x^2/2}$$

infinite curve, una famiglia intera di soluzioni

il modello più famoso

Quando il ritmo è proporzionale

Se la velocità di variazione è proporzionale alla quantità stessa, \(y'=ky\), la soluzione è sempre la stessa forma:

$$y(t) = y_0\,e^{kt}$$

Popolazioni che crescono (\(k>0\)), sostanze radioattive che decadono (\(k<0\)): stessa equazione, segno diverso.

applicazione

Il tempo di dimezzamento

Per il decadimento radioattivo \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\), il tempo perché la quantità si dimezzi è:

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

la base della datazione al carbonio-14

una legge nota

Il raffreddamento di Newton

Un corpo si raffredda con velocità proporzionale al divario con la temperatura ambiente, non alla temperatura stessa:

$$T(t) = T_{amb} + (T_0-T_{amb})\,e^{-kt}$$

Per \(t\to\infty\), \(T(t)\to T_{amb}\): il caffè, prima o poi, raggiunge sempre la temperatura della stanza.

un caso più generale

Equazioni lineari del primo ordine

Non sempre l'equazione si separa. La forma generale lineare è:

$$y' + p(x)\,y = q(x)$$

Serve un trucco: moltiplicare tutto per una funzione scelta ad arte.

il trucco

Trasformare il primo membro in una derivata

Con \(\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\), il primo membro diventa la derivata di un prodotto:

$$(\mu\,y)' = \mu\,q$$

Da qui basta integrare: un'equazione difficile diventa un calcolo di primitive.

sorpresa

Newton era già un caso particolare

Applicando il fattore integrante alla legge di raffreddamento (\(p\) e \(q\) costanti), si ritrova esattamente la stessa soluzione trovata separando le variabili.

due strade diverse, stessa destinazione

quale curva, tra infinite?

La condizione iniziale

L'integrale generale contiene una costante libera: infinite soluzioni. Per sceglierne una, basta un punto:

$$\begin{cases} y'=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}$$

un fatto notevole

Curve che non si incrociano mai

Sotto ipotesi ragionevoli su \(f\), da ogni punto del piano passa una sola curva integrale.

Due soluzioni distinte della stessa equazione non si toccano mai: è il teorema di esistenza e unicità.

elettronica

Il circuito RC

La carica di un condensatore soddisfa \(R\dot q + q/C = V_0\): stessa struttura lineare, stessa forma di soluzione.

$$q(t) = CV_0\left(1-e^{-t/RC}\right)$$

meccanica

Caduta con attrito

Con resistenza dell'aria proporzionale alla velocità, esiste una velocità limite: il corpo smette di accelerare, molto prima di toccare terra.

perché un paracadutista non accelera all'infinito

il filo che le unisce

Sempre la stessa forma

Condensatore, caduta con attrito, raffreddamento: fenomeni diversissimi, stessa equazione. Un sistema che si avvicina esponenzialmente a un equilibrio.

riconoscere la stessa forma sotto vesti diverse: il cuore della matematica applicata

uno sguardo avanti

Ordini superiori e sistemi

L'oscillatore armonico \(y''+\omega^2y=0\), i sistemi preda-predatore, le equazioni alle derivate parziali di calore e onde: tutto nasce dalla stessa idea di partenza.

per chiudere

Non leggi statiche, ma leggi di cambiamento

Dalla meccanica di Newton all'equazione di Schrödinger, le leggi fondamentali della fisica sono quasi sempre equazioni differenziali.

la natura non dice "come sei", dice "come cambi"