quinto anno · avanzato
Il Calcolo Integrale
dalla domanda inversa della derivata all'area sotto una curva
Chi ignora la matematica non può conoscere le altre scienze né le cose di questo mondo. — Ruggero Bacone
LA DOMANDA INVERSA
ripartiamo dalle derivate
E se andassimo all'indietro?
Sappiamo partire da \(f(x)\) e calcolare \(f'(x)\). Ma se conoscessimo \(f'(x)\) e volessimo risalire a \(f(x)\)?
È la stessa domanda che si pone la fisica: conosco la velocità istante per istante, voglio ricostruire la posizione.
definizione
La primitiva
\(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\) se, per ogni \(x\):
$$F'(x) = f(x)$$
Esempio: se \(f(x)=2x\), allora \(F(x)=x^2\) è una primitiva, perché \((x^2)'=2x\).
un dettaglio cruciale
Infinite primitive
Se \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\), anche \(F(x)+c\) lo è, per qualunque costante \(c\).
La derivata di una costante è zero: aggiungere \(c\) non cambia \(F'(x)\). Tutte le primitive di \(f\) differiscono solo per una costante additiva.
infinite curve, tutte "parallele" tra loro
L'INTEGRALE INDEFINITO
la notazione di Leibniz
Il simbolo \(\int\)
L'insieme di tutte le primitive di \(f(x)\) si chiama integrale indefinito:
$$\int f(x)\,dx = F(x)+c$$
La "S" allungata di \(\int\) non è un caso: ricorda una somma. Lo capiremo tra poco.
tabella essenziale
Integrali immediati
\(\displaystyle\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
\(\displaystyle\int \frac1x dx = \ln|x|+c\)
\(\displaystyle\int e^x dx = e^x+c\)
\(\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x+c\)
\(\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x+c\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x+c\)
la tabella delle derivate, letta al contrario
TRE METODI
metodo 1
Per sostituzione
Cambiamo variabile: posto \(t=g(x)\), l'integrale complicato in \(x\) diventa immediato in \(t\).
$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$$
Esempio: \(\displaystyle\int x\,e^{x^2}dx\), con \(t=x^2\), diventa \(\displaystyle\frac12\int e^t dt = \frac12 e^{x^2}+c\).
metodo 2
Per parti
Nasce dalla derivata del prodotto: utile quando l'integrando è un prodotto di funzioni "diverse tra loro".
$$\int f\,g'\,dx = f\,g - \int f'\,g\,dx$$
Esempio: \(\displaystyle\int x\,e^x dx = x e^x - \int e^x dx = (x-1)e^x + c\).
metodo 3
Funzioni razionali fratte
Per \(\displaystyle\int \frac{N(x)}{ax^2+bx+c}dx\), tutto dipende dal discriminante del denominatore.
- \(\Delta>0\)
- si scompone in fratti semplici, con logaritmi
- \(\Delta=0\)
- radice doppia: fratti semplici con potenza al denominatore
- \(\Delta<0\)
- si riconduce alla forma dell'arcotangente
L'INTEGRALE DEFINITO
cambiamo prospettiva
L'area sotto una curva
Vogliamo l'area tra il grafico di \(f(x)\geq0\), l'asse \(x\), e le rette \(x=a\), \(x=b\).
Idea di Riemann: approssimare l'area con tanti rettangolini sottili, e vedere cosa succede quando il loro numero tende all'infinito.
la somma diventa un limite
Le somme di Riemann
Divido \([a,b]\) in \(n\) parti uguali, base \(\Delta x\), e sommo le aree dei rettangoli:
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x \quad\longrightarrow\quad \int_a^b f(x)\,dx$$
attenzione
Area con segno
Se \(f(x)<0\), i rettangoli contribuiscono negativamente.
L'integrale definito non misura un'area "assoluta", ma un'area con segno: positiva sopra l'asse \(x\), negativa sotto.
IL TEOREMA FONDAMENTALE
il ponte tra due mondi
Derivata e integrale: operazioni inverse
Il teorema fondamentale del calcolo collega l'integrale definito alle primitive.
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
perché funziona
La costante che si cancella
Con \(F(x)+c\) al posto di \(F(x)\): \(\big[F(b)+c\big]-\big[F(a)+c\big] = F(b)-F(a)\).
La costante scompare sempre: per un integrale definito basta una qualsiasi primitiva.
Torricelli e Barrow lo intuirono prima ancora di Newton e Leibniz
APPLICAZIONI
tra due grafici
Area tra due curve
Se \(f(x)\geq g(x)\) su \([a,b]\):
$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx$$
Se le curve si incrociano, si spezza l'integrale nei punti di intersezione — altrimenti le aree si cancellerebbero a vicenda.
dal piano allo spazio
Volumi di rotazione
Ruotando il grafico di \(f(x)\geq0\) attorno all'asse \(x\), il metodo dei dischi dà:
$$V = \pi\int_a^b \big[f(x)\big]^2\,dx$$
Ogni fettina infinitesima è un cilindro di raggio \(f(x)\): sommando tutte le fettine si ottiene il volume del solido.
verifica sorprendente
Il volume della sfera
Ruotando il quarto di cerchio \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) su \([0,r]\) si genera una semisfera.
$$V = \pi\int_0^r (r^2-x^2)\,dx = \frac23\pi r^3 \ \Rightarrow\ V_{\text{sfera}}=\frac43\pi r^3$$
la formula che hai sempre usato a memoria, finalmente dimostrata
DOMANDE?
se la risposta tende a infinito, va bene lo stesso
grazie dell'attenzione