un'introduzione poco seria
tutto quello che sai già sui limiti, senza saperlo
prof. Diego Fantinelli — The Math of Things
"Al limite, ci arrivo anch'io" — modo di dire italiano che significa "se proprio è necessario, mi adeguo". Bene: in matematica significa qualcosa di completamente diverso. E anche di più interessante. — nessun matematico ha mai detto questo, ma avrebbe potuto
confessione
Ogni anno, in ogni classe, arriva questo momento: il professore scrive "lim" alla lavagna e qualcuno sussurra "e mo' che è?"
Buona notizia: il concetto lo conosci già. Malissimo, per giunta — ma lo conosci. Lo usi da quando eri piccolo.
spoiler: la parte difficile non è capirlo, è scriverlo bene
un problema vecchio di 2500 anni
Elea, 450 a.C. circa
Zenone propone una sfida: Achille, il più veloce dei Greci, fa una gara con una tartaruga. Per gentilezza, le dà 100 metri di vantaggio.
Achille corre. Ma quando raggiunge il punto dove partiva la tartaruga, lei si è già mossa un po' più avanti.
Quando Achille raggiunge quel punto, la tartaruga si è mossa ancora, anche se pochissimo.
E così via, all'infinito.
la conclusione (assurda)
Zenone conclude: Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Ci sono infiniti passi da fare, uno dopo l'altro, e non si finisce mai di farli tutti.
Il problema è che tutti sappiamo, per esperienza diretta, che nella realtà Achille la sorpassa senza nemmeno accorgersene.
il paradosso non è nella corsa. È nella matematica che (ancora) non c'era per spiegarla
2000 anni di attesa
Non un antico, ma tanti matematici tra il 1600 e l'800: Newton, Leibniz, poi Cauchy e Weierstrass hanno messo ordine.
L'idea che li ha salvati tutti: infiniti passi, ciascuno piccolissimo, possono sommarsi a una distanza finita. E possono avvicinarsi a un valore preciso, senza mai raggiungerlo esattamente in un numero finito di passi.
Questa idea si chiama limite.
il limite lo conosci già
indovina l'analogia
Ti avvicini al muro col paraurti, sempre più piano, sempre più vicino. Non lo tocchi mai (si spera), ma la distanza diventa piccola quanto vuoi.
"Mi manca sempre l'ultimo chilo." Ti avvicini al peso forma, un po' alla volta, ma il traguardo sembra sempre a un passo di distanza.
Scende, scende, scende... e sembra non morire mai del tutto. (Poi muore sempre nel momento peggiore, ma quello è un altro teorema.)
in tutti e tre i casi: ti avvicini quanto vuoi, senza necessariamente arrivare
ora sul serio
Prendi una funzione $f(x)$ e un valore $x_0$ a cui $x$ si avvicina, senza necessariamente raggiungerlo.
Ci chiediamo: cosa succede a $f(x)$ mentre $x$ si avvicina sempre di più a $x_0$?
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$
si legge: "il limite di $f(x)$, per $x$ che tende a $x_0$, è uguale a $L$"
occhio alle parole
La parte più fraintesa: $x \to x_0$ non vuol dire "$x$ vale $x_0$". Vuol dire "$x$ si avvicina sempre di più a $x_0$, restando diverso da $x_0$".
A volte $f(x_0)$ esiste e coincide col limite. A volte $f(x_0)$ non esiste nemmeno — e il limite esiste comunque.
è la differenza tra "arrivare in stazione" e "vedere il treno che si avvicina"
tre destini possibili
cosa può succedere
$f(x)$ si avvicina a un numero preciso $L$. È il caso "tranquillo", quello della dieta e del parcheggio.
$f(x)$ non si stabilizza da nessuna parte: cresce (o scende) senza freno. È il caso dell'asintoto verticale.
Avvicinandosi da sinistra o da destra, $f(x)$ va in due posti diversi. Il limite, semplicemente, non c'è.
verità scomoda
Il tempo che impiega Achille per fare tutti gli infiniti "mezzi passi" di Zenone non è infinito: è un limite finito.
Infiniti passi, ciascuno più piccolo del precedente, sommati insieme, danno un tempo preciso e finito. Dopo quel tempo, Achille ha sorpassato la tartaruga.
Il paradosso si scioglie. Ci sono voluti solo 2000 anni.
la lezione
L'infinito non è un numero enorme. È un processo che non finisce mai.
Il limite è lo strumento che ci permette di ragionare su questi processi senza impazzire, e di dare una risposta precisa a una domanda che sembra non averla.
"L'infinito matematico non è che una parola, con la quale si designa una lunga eternità di passi finiti." — parafrasando Carl Friedrich Gauss
la definizione vera, passo per passo, nella prossima lezione
grazie dell'attenzione