John Nash, o come rovinare una serata al bar con la matematica

Una serata in un bar di Princeton

Nel film A Beautiful Mind c’è una scena diventata quasi più famosa della teoria che dovrebbe spiegare. John Nash è in un bar con alcuni compagni di dottorato. Entra un gruppo di ragazze, e tra loro una bionda attira subito l’attenzione di tutti. La strategia “ovvia” sembra chiara: ognuno tenta con lei. Ma Nash si ferma a pensare, e capisce che è la mossa sbagliata. Se tutti corteggiano la stessa ragazza, si intralciano a vicenda, lei li respinge, e per giunta le sue amiche — offese dall’essere state ignorate — respingeranno anche loro chiunque si rivolga a loro come ripiego. Il risultato: nessuno rimedia nulla.

Va detto subito, con onestà, che questa scena è un’invenzione degli sceneggiatori. Non è mai successa così, e non è nemmeno il modo in cui Nash arrivò davvero alla sua idea più celebre. Ma come intuizione didattica funziona benissimo, ed è per questo che continua a essere raccontata: mostra in trenta secondi il cuore del problema che la teoria dei giochi cerca di risolvere.

Il problema, in parole povere

Il punto non è “chi è il più furbo”. È che il risultato migliore per un gruppo di persone non si ottiene sommando le scelte migliori per ciascuno preso singolarmente. Se ogni persona ragiona solo guardando il proprio interesse immediato, senza considerare che anche gli altri stanno ragionando allo stesso modo, il gruppo intero può finire in una situazione peggiore per tutti — bionda compresa, che si ritrova circondata e infastidita.

Questa è l’intuizione che nel 1950, a soli ventidue anni, John Nash formalizzò in una tesi di dottorato di appena ventotto pagine. L’idea, oggi nota come equilibrio di Nash, è più sottile di “la scelta migliore”: è una situazione in cui nessuno dei giocatori ha convenienza a cambiare strategia, dato che tutti gli altri restano fermi sulla propria. Non è detto che sia la soluzione più desiderabile per il gruppo — anzi, spesso non lo è affatto.

Un esempio più familiare: il dilemma del prigioniero

Il caso più citato in assoluto è il cosiddetto dilemma del prigioniero. Due sospettati vengono interrogati in stanze separate. Se entrambi tacciono, la pena per entrambi è lieve. Se uno tradisce l’altro confessando, chi tradisce esce libero e l’altro paga tutto. Se si tradiscono a vicenda, finiscono entrambi con una pena pesante — ma meno pesante del caso peggiore.

Il ragionamento individuale porta dritti al tradimento: qualunque cosa faccia il complice, a me conviene sempre confessare. Ma se ragionano entrambi così, finiscono nella situazione peggiore per il gruppo, quella che avrebbero potuto evitare tacendo entrambi. Lo stesso schema, in versione meno drammatica, spiega perché due negozi vicini finiscono in una guerra di sconti che erode i margini di entrambi, o perché due studenti che potrebbero studiare insieme finiscono per copiare a vicenda, rovinando la preparazione di tutti e due.

Perché conta ancora oggi

La teoria dei giochi non è rimasta un esercizio accademico. Gli economisti la usano per capire come si comportano le aziende in un mercato con pochi concorrenti (un oligopolio, come quello dei gestori telefonici o delle compagnie aeree). Le grandi aste — dalle frequenze radio ai posti pubblicitari online — vengono progettate proprio applicando i risultati di Nash e dei suoi successori, per evitare che i partecipanti trovino conveniente barare o coordinarsi contro il banditore. In biologia evolutiva, gli stessi strumenti spiegano perché certe strategie di comportamento animale si stabilizzano nel tempo, anche senza che nessun animale “ragioni” in senso stretto.

Nash ricevette il premio Nobel per l’economia nel 1994, oltre quarant’anni dopo quella tesi di ventotto pagine. Nel frattempo aveva attraversato decenni di schizofrenia, raccontati anch’essi — con parecchie licenze — dal film che lo ha reso celebre al grande pubblico.

Per chi vuole andare più a fondo

Quello che si vede in una scena di film è solo la superficie. Dietro c’è un impianto matematico preciso: come si rappresenta un gioco, come si dimostra che un equilibrio esiste, come si distinguono i giochi cooperativi da quelli non cooperativi. Chi vuole vedere la teoria formalizzata — matrici dei payoff, dominanza, dimostrazione dell’esistenza dell’equilibrio — può proseguire con la lezione di approfondimento sulla teoria dei giochi.