Le derivate: dal problema della tangente alla definizione formale
Dalla pendenza di una retta alla velocità istantanea di variazione
Il problema della tangente
Pendenza di una retta
Per stabilire la pendenza di una retta — o meglio la sua inclinazione — è sufficiente fissare due punti sulla retta ed effettuare il rapporto tra l’incremento in direzione $y$ (altezza) e l’incremento in direzione $x$ (lunghezza):
$$\text{inclinazione}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{y_q - y_p}{x_q - x_p} \tag{1}$$
Questo viene definito anche tasso medio di cambiamento o variazione media.
Facendo riferimento all’equazione della generica retta $y = mx + q$, l’inclinazione della retta è chiamato coefficiente angolare:
$$m = \dfrac{y_q - y_p}{x_q - x_p}$$
Il problema con le curve
Quando però la funzione non è una retta, bensì una curva, diventa molto complicato stabilire l’inclinazione. Nel momento in cui si fissano due punti su una curva, l’inclinazione — così com’è stata definita più sopra — rappresenterebbe soltanto un’approssimazione del tasso di variazione reale.
Serve pertanto uno strumento che permetta di calcolare l’inclinazione della curva in ogni suo punto. Questo strumento — anche intuitivamente — non può non essere legato al concetto di limite.
Il rapporto incrementale
Dalla retta secante alla retta tangente
Consideriamo due punti $P$ e $Q$ situati sul grafico di una funzione, quindi appartenenti al suo Insieme di Definizione:
- $P(x, f(x))$
- $Q(x+h, f(x+h))$
La pendenza della retta passante per i due punti $P$ e $Q$ — chiamata retta secante — è:
$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \tag{2}$$
Dal punto di vista della curva, questo rapporto rappresenta soltanto l’inclinazione di una retta secante passante per due punti appartenenti alla funzione.
Però notiamo qualcosa di cruciale:
L’intuizione chiave:
- La precisione riguardo al calcolo della pendenza aumenta all’avvicinarsi di $Q$ a $P$
- Nel momento in cui i due punti coincideranno esisterà un’unica retta passante per quel punto e quella retta non potrà che essere la tangente alla curva nel punto $P$. La sua inclinazione $m$ — il coefficiente angolare — è proprio quello che cerchiamo.
- La secante si trasforma in tangente al limite!
La formula della retta secante
La retta passante per $P$ e $Q$ ha equazione:
$$y-y_p=(y_q-y_p) \cdot \dfrac{x-x_p}{x_q-x_p}$$
Sostituendo i nostri punti:
$$f(x) - f(x_0) = \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot (x - x_0) \tag{3}$$
Il termine al numeratore della frazione rappresenta il coefficiente angolare della retta secante alla curva della funzione $f(x)$.
Definizione del rapporto incrementale
$$\text{Rapporto incrementale}=\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \tag{RI}$$
È il rapporto tra gli incrementi in $y$ e in $x$.
La derivata: dalla pendenza media alla pendenza puntuale
Dal limite nasce la derivata
La derivata di una funzione è definita come il limite — ove questo esista e sia finito — del rapporto incrementale:
$$f’(x) = \dfrac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \tag{D}$$
Questa definizione cattura l’idea fondamentale: quando avviciniamo infinitamente il secondo punto al primo, la retta secante diventa la retta tangente, e il suo coefficiente angolare diventa la pendenza della curva esattamente in quel punto.
Significati della derivata
La derivata di una funzione ha due interpretazioni parallele:
Geometricamente: rappresenta l’inclinazione — il coefficiente angolare — della retta tangente al grafico della funzione in un punto.
Analiticamente: rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione in esame. È la velocità con cui la funzione cambia in quel preciso istante.
Un esempio dalla fisica
In fisica, l’accelerazione rappresenta il tasso di variazione della velocità — cioè la derivata della velocità rispetto al tempo. Allo stesso modo, la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo.
Conclusione
Il viaggio dalla semplice domanda “qual è la pendenza di una curva?” ci ha portato a scoprire uno dei concetti più potenti della matematica: la derivata.
Dalle rette alle curve, dai rapporti medi ai tassi istantanei, dalla geometria all’analisi — la derivata è il cuore pulsante del calcolo differenziale, uno strumento indispensabile non solo in matematica, ma in ogni disciplina dove il cambiamento è protagonista.