Due donne, 62 uomini: la Medaglia Fields fa ancora fatica a contare fino a due

Un premio che si assegna quattro persone alla volta, ogni quattro anni

In classe, quando è capitato di parlare di Alessio Figalli o di Giorgio Parisi, la domanda che torna sempre è: ma cos’è esattamente questa Medaglia Fields? È il “Nobel della matematica”? Non proprio — Alfred Nobel non previde mai un premio per la matematica nel suo testamento (le ragioni sono materia da aneddoto più che da fisica, e restano incerte), e la Fields Medal, istituita nel 1936 dal matematico canadese John Charles Fields, ha regole tutte sue, più severe: viene assegnata ogni quattro anni, in occasione del Congresso Internazionale dei Matematici, a non più di quattro persone alla volta, e solo a chi ha meno di 40 anni al 1° gennaio dell’anno del congresso. Non è un premio alla carriera: è un riconoscimento a chi, prima dei 40 anni, ha già cambiato la direzione di un intero campo della matematica.

Dal 1936 a oggi sono state assegnate 64 medaglie in totale. Di queste, solo due sono andate a una donna — le altre 62, tutte a uomini. Vale la pena raccontare chi erano queste due donne, e cosa hanno risolto.

Maryam Mirzakhani: la geometria delle forme impossibili da immaginare

Maryam Mirzakhani è nata a Teheran nel 1977. Da ragazza vinse due medaglie d’oro alle Olimpiadi Internazionali di Matematica, con un punteggio perfetto nel 1995 — un dettaglio che raccontiamo spesso in classe, perché smonta l’idea che i grandi matematici “nascano” già formati: Mirzakhani stessa raccontò di essere stata, alle medie, una studentessa mediocre in matematica, prima di innamorarsene davvero al liceo.

Il suo lavoro riguarda oggetti difficili anche solo da immaginare: le superfici di Riemann e i loro spazi dei moduli. Per farsene un’idea: immaginiamo tutte le possibili forme “curve” che si possono dare a una ciambella con un certo numero di buchi, mantenendo però fissata la topologia (il numero di buchi non cambia, cambia solo la geometria — quanto è “schiacciata” o “allungata” la superficie). L’insieme di tutte queste forme possibili è a sua volta uno spazio geometrico: lo spazio dei moduli. Mirzakhani trovò un modo per calcolarne il volume, risolvendo un problema aperto da decenni, e usò questo risultato per dimostrare in modo del tutto nuovo e inaspettato una congettura di Edward Witten sulla struttura di questi spazi.

Uno dei suoi risultati più citati riguarda il conteggio delle geodetiche chiuse semplici su una superficie iperbolica — in parole povere, i percorsi più brevi che si chiudono su sé stessi senza mai incrociarsi. Mirzakhani dimostrò che il loro numero, al crescere della lunghezza massima $L$ consentita, cresce secondo una legge di potenza precisa:

$$N(L) \sim c_g \cdot L^{6g-6} \tag{M}$$

dove $g$ è il genere della superficie (il numero di “buchi”) e $c_g$ una costante che dipende dalla geometria dello spazio dei moduli stesso. Una formula che sembra tecnica, ma che in realtà mette ordine in un caos apparente: dice esattamente quanto velocemente si moltiplicano questi percorsi, e lo fa con una precisione che nessuno era riuscito a raggiungere prima.

Nel 2014 Mirzakhani divenne la prima donna, e la prima persona di nazionalità iraniana, a vincere la Fields Medal. Morì tre anni dopo, nel 2017, per un cancro al seno diagnosticato nel 2013: aveva 40 anni. Oggi il suo nome è legato a premi e iniziative dedicate a incoraggiare le ragazze a intraprendere la ricerca matematica, tra cui il Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize.

Maryna Viazovska: il problema delle arance, risolto in otto dimensioni

Il secondo nome è quello di Maryna Viazovska, nata a Kyiv nel 1984, oggi professoressa ordinaria e titolare della cattedra di Teoria dei Numeri all’EPFL di Losanna, in Svizzera.

Il problema che ha risolto ha un’origine sorprendentemente concreta, e si può raccontare bene anche a chi non ha basi di matematica avanzata: qual è il modo più efficiente di impacchettare delle sfere nello spazio, in modo da riempire il maggior volume possibile? È il problema che si pone chiunque debba impilare arance al mercato, o palle di cannone in un deposito — e infatti è noto come sphere packing problem, formulato esplicitamente da Keplero nel 1611 e rimasto una congettura per quasi quattro secoli, fino a una dimostrazione rigorosa (per lo spazio a tre dimensioni) solo nel 1998.

Viazovska ha affrontato lo stesso problema non in tre dimensioni, ma in otto e in ventiquattro. Può sembrare un esercizio di astrazione fine a sé stesso, ma in dimensioni particolari — 8 e 24, appunto — il problema nasconde una struttura eccezionalmente elegante, legata a due configurazioni geometriche note come reticolo $E_8$ e reticolo di Leech. Nel 2016 Viazovska dimostrò che il reticolo $E_8$ fornisce davvero l’impacchettamento più denso possibile in otto dimensioni, trovando una connessione sorprendente con le forme modulari, un ramo della teoria dei numeri apparentemente lontanissimo dalla geometria dello spazio. La densità massima raggiungibile in otto dimensioni, che la sua dimostrazione ha reso un fatto certo e non più solo una congettura, vale:

$$\Delta_8 = \frac{\pi^4}{384} \approx 0{,}25367 \tag{V}$$

Poche settimane dopo, insieme a un gruppo di collaboratori, estese lo stesso metodo alla dimensione 24, risolvendo anche quel caso attraverso il reticolo di Leech. Nel 2022 le è stata conferita la Medaglia Fields — la seconda donna nella storia del premio, dopo Mirzakhani.

Perché raccontarlo in classe

Non è solo una questione di quote o di rappresentanza, anche se il dato — due donne su 64 medaglie, in ottantasei anni di storia del premio — resta un dato, e i dati non si aggirano con le buone intenzioni. È che le storie di Mirzakhani e Viazovska raccontano bene cosa significa fare ricerca matematica davvero: non “essere bravi con i numeri”, ma inseguire per anni una domanda che sembra irrisolvibile, e trovare, a volte, una connessione che nessuno aveva visto — tra la geometria e la teoria dei numeri, tra un problema di ottica e uno di impacchettamento di sfere.

È lo stesso motivo per cui vale la pena raccontare Figalli o Parisi: la matematica e la fisica non sono un elenco di formule da applicare, sono il resoconto di persone che hanno inseguito una domanda più a lungo di chiunque altro. Che a inseguirla sia stata una donna, così raramente nella storia di questo premio, è un motivo in più per raccontarlo — e per ricordare alle ragazze in classe che quella porta, oggi, è aperta anche per loro.

Sources:

• The Work of Maryam Mirzakhani — International Mathematical Union
• Maryam Mirzakhani — MacTutor History of Mathematics
• A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces — Quanta Magazine
• The work of Maryna Viazovska — Henry Cohn, International Mathematical Union
• Maryna Viazovska — MacTutor History of Mathematics
• Maryna Viazovska, explorer of mathematical dimensions — EPFL

Questo articolo è stato scritto con l'indispensabile contributo di Claude — la quale, va detto, non ha chiesto nulla in cambio. Per ora.