Introduzione

Il cosiddetto principio di conservazione dell’energia generalizzato è, in realtà, una denominazione impropria. Non si tratta infatti di un principio fondamentale della fisica, bensì di una generalizzazione del principio di conservazione dell’energia meccanica, valida anche in presenza di forze non conservative.

La relazione di partenza è il teorema dell’energia cinetica, che è sempre valido. Da esso si ricava:

$$ \Delta E_M = L_{\text{non c.}} $$

dove l’energia meccanica totale $E_M$ è definita come

$$ E_M = E_K + U $$

con $E_K$ energia cinetica e $U$ energia potenziale.

Questa espressione mostra che:

• l’energia meccanica si conserva quando agiscono solo forze conservative (ad esempio la forza gravitazionale o la forza elastica);

• l’energia meccanica varia quando sono presenti forze non conservative, come l’attrito, il cui lavoro è responsabile della variazione di $E_M$.

Il documento sviluppa in modo sistematico questa derivazione e si conclude con un esempio applicativo, in cui viene calcolato lo spazio percorso da un corpo soggetto a forza d’attrito.

Principio di Conservazione dell’Energia Generalizzato

Definizione

Nome improprio: non è un principio di conservazione, ma una generalizzazione del principio di conservazione dell’energia meccanica nel caso in cui agiscano forze non conservative.

Teorema dell’Energia Cinetica

$$ \Delta E_K = L_{A \to B}^{\text{tot}} $$

dove:

• $E_K$ = energia cinetica

• $L_{A \to B}^{\text{tot}}$ = lavoro totale compiuto da tutte le forze nel passaggio da $A$ a $B$

Questo teorema vale sia in presenza di forze conservative che di forze non conservative.

Scomposizione del Lavoro Totale

Il lavoro totale può essere scomposto in:

$$ L_{A \to B}^{\text{tot}} = L_{A \to B}^{\text{cons}} + L_{A \to B}^{\text{non c.}} $$

dove:

• $L_{A \to B}^{\text{cons}}$ = lavoro delle forze conservative

• $L_{A \to B}^{\text{non c.}}$ = lavoro delle forze non conservative

Collegamento con l’Energia Potenziale

Per le forze conservative vale la relazione:

$$ L_{A \to B}^{\text{cons}} = -\Delta U = -(U_B - U_A) = U_A - U_B $$

Unendo Tutto

Dal teorema dell’energia cinetica:

$$ \Delta E_K = L_{A \to B}^{\text{cons}} + L_{A \to B}^{\text{non c.}} $$

Sostituendo $L_{A \to B}^{\text{cons}} = -\Delta U$:

$$ \Delta E_K = -\Delta U + L_{A \to B}^{\text{non c.}} $$

Riorganizzando:

$$ \Delta E_K + \Delta U = L_{A \to B}^{\text{non c.}} $$

ovvero:

$$ \Delta (E_K + U) = L_{A \to B}^{\text{non c.}} $$

Definendo l’energia meccanica totale $E_M = E_K + U$:

$$ \Delta E_M = L_{A \to B}^{\text{non c.}} $$

Caso Speciale: Solo Forze Conservative

Se non agiscono forze non conservative, cioè:

$$ L_{A \to B}^{\text{non c.}} = 0 $$

allora:

$$ \Delta E_M = 0 $$

e quindi:

$$ E_M = E_K + U = \text{costante} $$

Questo è il vero principio di conservazione dell’energia meccanica.

In forma esplicita:

$$ E_{K,A} + U_A = E_{K,B} + U_B $$

oppure, nel caso della forza peso:

$$ \frac{1}{2} m v_A^2 + m g h_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + m g h_B $$

Esempio: corpo con attrito

Dati

• velocità iniziale: $v_i = 5,\mathrm{m/s}$
• massa: $m = 1,\mathrm{kg}$
• coefficiente di attrito: $\mu = 0.4$
• determinare lo spazio percorso prima dell’arresto

Soluzione

In presenza di attrito l’energia meccanica non si conserva. Tuttavia è sempre valido il teorema dell’energia cinetica. Poiché l’unica forza che compie lavoro lungo il moto è la forza di attrito, si ha:

$$ \Delta E_K = L_{\text{attrito}} $$

La variazione di energia cinetica del corpo è:

$$ \Delta E_K = E_{K,f} - E_{K,i} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 $$

Poiché il corpo si arresta, $v_f = 0$, quindi:

$$ \Delta E_K = 0 - \frac{1}{2}(1)(5)^2 = -12.5,\mathrm{J} $$

Il lavoro della forza di attrito, opposta al moto, vale:

$$ L_{\text{attrito}} = -\mu \cdot m \cdot g \cdot s $$

Uguagliando la variazione di energia cinetica al lavoro dell’attrito:

$$ -\frac{1}{2} m v_i^2 = -\mu \cdot m \cdot g \cdot s $$

Sostituendo i valori numerici:

$$ \frac{1}{2}(1)(5)^2 = 0.4 \cdot 1 \cdot 9.8 \cdot s $$

$$ 12.5 = 3.92, s $$

da cui:

$$ s = \frac{12.5}{3.92} \approx 3.19,\mathrm{m} $$

Risultato: il corpo percorre circa $3.2,\mathrm{m}$ prima di fermarsi.

Schema Riassuntivo