Definizione
Che cos'è un'equazione
Un'equazione è un'uguaglianza in cui compare una lettera incognita (di solito \(x\)) il cui valore non conosciamo.
Risolvere un'equazione significa trovare il(i) valore(i) di \(x\) che rendono l'uguaglianza vera.
I due piatti devono stare in equilibrio: qualunque cosa facciamo a uno, dobbiamo farlo anche all'altro.
Regole fondamentali
Principi di equivalenza
Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
1° principio
Sommare o sottrarre lo stesso numero ai due membri non cambia la soluzione.
\(3x + 5 = 14 \;\Longrightarrow\; 3x = 14 - 5\)
2° principio
Moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero \(\neq 0\) non cambia la soluzione.
\(3x = 9 \;\Longrightarrow\; x = 3\)
Metodo
Come si risolve
- 1Sviluppa le parentesi (se presenti)
- 2Elimina i denominatori (moltiplicando per il MCM)
- 3Sposta tutte le \(x\) a sinistra
- 4Sposta tutti i numeri a destra
- 5Dividi entrambi i membri per il coefficiente di \(x\)
- 6Verifica sostituendo il risultato nell'equazione originale
Regola pratica: quando un termine cambia membro, cambia segno.
Forma generale ed esempi
La forma \(ax + b = 0\)
La forma generale dell'equazione di 1° grado è:
\[ ax + b = 0 \quad (a \neq 0) \]
La soluzione è:
\[ x = -\dfrac{b}{a} \]
Esempio 1 — base
\(3x + 5 = 14\)
\(3x = 14 - 5\)
\(3x = 9\)
\(x = 3\)
Esempio 2 — x in entrambi i membri
\(2x - 7 = 5 - x\)
\(2x + x = 5 + 7\)
\(3x = 12\)
\(x = 4\)
Attenzione
Casi particolari
| Risultato |
Tipo |
Soluzioni |
| \(0 \cdot x = 0\) |
Indeterminata |
infinite soluzioni
ogni x è soluzione |
\(0 \cdot x = k\)
\((k \neq 0)\) |
Impossibile |
nessuna soluzione
\(0 \neq k\) per nessun x |
Esempio — impossibile
\(2x + 3 = 2x - 1\)
\(2x - 2x = -1 - 3\)
\(0 = -4\) — Impossibile!
Caso frequente
Equazioni con parentesi
Prima di tutto: sviluppa le parentesi applicando la proprietà distributiva.
Esempio
\(5(x - 2) = 3x + 4\)
\(5x - 10 = 3x + 4\)
\(5x - 3x = 4 + 10\)
\(2x = 14\)
\(x = 7\)
Caso frequente
Equazioni con frazioni
Moltiplica tutto (ogni termine) per il MCM dei denominatori. Le frazioni spariscono.
Esempio — MCM = 6
\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{x}{6} + 2\)
× 6:
\(3x + 2 = x + 12\)
\(3x - x = 12 - 2\)
\(2x = 10\)
\(x = 5\)
Errori da evitare
Attenzione a questi errori
Questi sono gli errori più frequenti:
Sbagliato \(3x - 5 = 10 \Rightarrow 3x = 10 - 5\)
Il \(-5\) va a destra con segno opposto: \(+5\)
Corretto \(3x = 10 + 5 = 15\)
Sbagliato \(2(x+3) = 2x + 3\)
Il 2 moltiplica tutti i termini nella parentesi
Corretto \(2(x+3) = 2x + 6\)
Sbagliato dividere per 0
Se il coefficiente di \(x\) è 0, l'equazione è un caso particolare (impossibile o indeterminata)
Promemoria
Checklist — segui questi passi nell'ordine
- Sviluppo le parentesi (proprietà distributiva)
- Elimino i denominatori (moltiplico per il MCM)
- Sposto tutti i termini con \(x\) a sinistra
- Sposto tutti i numeri a destra
- Raccolgo i termini simili (\(ax + bx = (a+b)x\))
- Divido entrambi i membri per il coefficiente di \(x\)
- Verifico sostituendo il risultato
- Controllo se l'equazione è impossibile o indeterminata