Il concetto di _Modello Matematico_

Wed, 30 Mar 2022 00:21:00 +0000

Il concetto di modello matematico

Probabilità e particelle

Nel 1820 Pierre Simon de Laplace, nel suo Théorie analytique des probabilités, scriveva: “Noi dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un’intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze di cui è animata la natura $[\ldots]$ abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto presente ai suoi occhi”

Laplace riteneva che il calcolo delle probabilità fosse utile in tutte quelle situazioni in cui è difficile ottenere informazioni molto precise sulle grandezze in gioco, ma che sarebbe possibile conoscere con esattezza posizione e velocità di ogni singola particella dell’universo.

Nel 1927 Werner Heisenberg enunciava il principio di indeterminazione, affermando che il prodotto delle incertezze di due grandezze coniugate (per esempio, posizione e quantità di moto) non può essere minore del rapporto fra la costante di Planck e $2 \pi$.

Nel mondo macroscopico gli effetti di questo principio sono irrilevanti, perché la costante di Planck è molto piccola.

Nel mondo atomico e subatomico, invece, le conseguenze sono significative e sorprendenti.

Per esempio, affermare che non è possibile conoscere con la precisione voluta sia la quantità di moto sia la posizione di una particella, implica che perde significato il concetto di traiettoria.

Non ha quindi senso parlare di traiettoria di un elettrone, ma solo di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione. A differenza di ciò che affermava Laplace, l’approccio probabilistico non è allora un utile stratagemma per ovviare alla nostra ignoranza, ma una necessità per comprendere la natura del mondo.

Nei casi concreti, l’analisi e la modellizzazione di un fenomeno casuale avviene solitamente secondo le fasi sintetizzate nel seguente schema.

graph TD A[Esperimento Casuale] --> B(osservazione) B --> |statistica descrittiva| C[analisi dati] C --> D{confronto} A --> E(modello) E -->|Calcolo delle Probabilità| G[Previsioni] G --> D D --> H[validazione o
correzione del modello]

La costruzione del modello del fenomeno casuale consiste nel definire alcune variabili aleatorie che descrivono il fenomeno in esame e assegnare a tali variabili aleatorie una distribuzione di probabilità.
- Questa fase è la più delicata perché comporta un certo grado di arbitrarietà nella scelta della distribuzione più adeguata.
Naturalmente, nella costruzione del modello non si procede arbitrariamente, ma si cerca di descrivere nel miglior modo possibile gli aspetti d’interesse del fenomeno che si sta studiando.
Tuttavia, dopo aver trovato un modello che, almeno a priori, sembra ragionevole, esso dovrà essere messo alla prova, confrontando le previsioni che consente di effettuare con i dati empirici.
- Nel caso si riscontrino delle significative discrepanze con i dati reali, occorre cercare di modificare il modello per renderlo più aderente alla realtà;
- nel caso in cui, invece, si abbia conferma di aver trovato un buon modello, non è tuttavia detto che esso sia necessariamente l’unico valido o che non sia ulteriormente migliorabile.

Si intravede così la moderna concezione di modello matematico come rappresentazione formale di un fenomeno, che non pretende di spiegarlo o di scoprirne l’intima essenza, ma solo di darne un’immagine che descriva bene alcuni suoi aspetti.

Un modello va dunque valutato soltanto in base alla sua efficacia e un buon modello non è detto che sia l’unico possibile. Si tratta di un approccio opposto a quello della fisica classica:
- per Newton l’obiettivo fondamentale non era l’utilità ma la ricerca della verità, la scoperta delle cause di un fenomeno, la loro spiegazione, fino a giungere alla causa prima.
- Non è un caso, quindi, che la moderna modellistica matematica e la diffusione dei modelli matematici anche nell’ambito di discipline diverse dalla fisica abbiano avuto origine proprio con la crisi di uno dei principi fondamentali della fisica classica: quello del determinismo, secondo cui la conoscenza della posizione e della velocità di un punto materiale, nonché della legge del suo moto, determinano in modo univoco la sua evoluzione.
A scardinare questo principio fu principalmente la scoperta, da parte di Werner Karl Heisenberg (1927), che a livello microscopico la posizione e la velocità di una particella non possono essere determinate simultaneamente; si può soltanto determinare la probabilità che la particella si trovi in un punto anziché in un altro, oppure che abbia una velocità piuttosto che un’altra.

Il comportamento della particella non può dunque essere previsto in modo certo, come normalmente accadeva nella fisica classica.

Ne seguì una progressiva crisi della concezione puramente deterministica, che lasciò gradualmente spazio a un approccio nuovo ai problemi, di tipo modellistico e probabilistico, ben sintetizzato dalle parole di uno dei massimi scienziati del novecento, John von Neumann (1903-1957):

“Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni, cioè che descriva correttamente i fenomeni di un’area ragionevolmente ampia”.

Epitaffio di _Diòfanto_

Fri, 19 Nov 2021 00:21:00 +0000

There is not one big cosmic meaning for all, there is only the meaning we each give to our life.
— Anaïs Nin

Diofanto di Alessandra

Diofanto di Alessandria (in greco: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς) fu un grande matematico greco e, anche se della sua vita si sa ben poco e pare sia vissuto nel periodo tra il $II$ e il $III$ secolo d.C. ad Alessandria d’Egitto in epoca romana, alcuni ritengono che sia stato l’ultimo dei grandi matematici ellenistici.
In un epigramma della “Antologia Palatina”, attribuito a Metrodoro di Bisanzio, grammatico e aritmetico vissuto nel $VI$ secolo d.C., si legge una curiosa indicazione dalla quale è possibile trarre l’età del grande matematico greco Diofanto.
L’indovinello che, secondo la leggenda, Diofanto stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio, è un problema aritmetico proposto sotto forma appunto di epigramma¹, e che fa parte della raccolta di 45 indovinelli, corrispondenti ad equazioni di primo grado ad un’incognita, che l’epigrammista greco Metrodoro incluse nell’Antologia Greca.
Infatti il libro XIV dell’Antologia Palatina contiene $150$ epigrammi, di cui $45$ sono i problemi aritmetici raccolti da Metrodoro.

epitaffio di Diofanto

A Diofanto si deve un famoso problema, che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio:

«Οὑτός τοι Διόφαντον ἔχει τάφος· ἆ μέγα θαῦμα!
καὶ τάφος ἐκ τέχνης μέτρα βίοιο λέγει.
Ἕκτην κουρίζειν βιότου θεὸς ὤπασε μοίρην,
δωδεκάτην δ’ ἐπιθείς μῆλα πόρεν χνοάειν·
τῇ δ’ ἄρ’ ἑβδομάτῃ τὸ γαμήλιον ἥψατο φέγγος,
ἐκ δὲ γάμων πέμπτῳ παῖδ’ ἐπένευσεν ἔτει.
Αἰαῖ, τηλύγετον δειλὸν τέκος, ἥμισυ πατρός
+τοῦδε καὶ ἡ κρυερός+ μέτρον ἑλὼν βιότου. Πένθος δ’ αὖ πισύρεσσι παρηγορέων ἐνιαυτοῖς
τῇδε πόσου σοφίῃ τέρμ’ ἐπέρησε βίου.»

«Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia!
dice matematicamente quanto ha vissuto.
Un sesto della sua vita fu l’infanzia,
aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza.
Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie,
e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio.
L’infelice (figlio) morì improvvisamente
quando raggiunse la metà dell’età che il padre ha vissuto.
Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni
e raggiunse infine il termine della propria vita.»

La soluzione dell’enigma sta nella seguente equazione: $$\large \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{7} + 5 + \dfrac{x}{2} + 4 = x$$

soluzione:

$$ \begin{align} \dfrac{14x + 7x + 12x +420 + 42x + 336}{84} = x\\ \cancel{84} \cdot \dfrac{14x + 7x + 12x +420 + 42x + 336}{\cancel{84}} = 84x\\ -9x = -756\\ \dfrac{-9x}{-9} = \dfrac{-756}{-9}\\ \end{align} $$

da cui si ricava l’età di Diofanto: $$\Large x = 84$$

Breve componimento diretto a fissare, per lo più in modo ironico o satirico, l’interpretazione personale di un fatto, sì da indurre il lettore alla riflessione o al riso; ↩︎